4ºESO Académicas (Ciencias) "4ºABE+4ºC" Inecuaciones cuadráticas (2ªparte) con una incógnita.

¡Hola a tod@s!
He recibido algunos correos electrónicos vuestros solicitando una explicación más detallada sobre cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita. Tenía previsto hablar de otra cosa pero...
ok!

Se pueden resolver analíticamente con una tabla de signos, tal como os conté en clase. Tenéis un ejemplo resuelto de ello en la página 122 del libro.

En clase resolvimos el caso en que $\Delta>0$, que tiene dos raíces reales y distintas. En este caso, el esquema de signos es siempre el mismo: $+, -,+$. Así , por ejemplo, si consideramos el polinomio $x^{2}+3x-10=(x+5)\cdot(x-2)$, cuyas raíces reales son $-5$ y $2$ tenemos que (ordenando las raíces de menor a mayor):
$$x^{2}+3x-10>0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5)\cup(2,+\infty)$$
$$x^{2}+3x-10\geq 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5]\cup[2,+\infty)$$
$$x^{2}+3x-10<0 \longrightarrow x\in (-5,2)$$
$$x^{2}+3x-10\leq 0 \longrightarrow x\in [-5,2]$$
Recordad que el corchete "$[$" incluye el extremo y el paréntesis lo excluye del conjunto-solución (CS).
El caso en que el discriminante $\Delta$ es cero, se resuelve del mismo modo. Según lo dicho en la entrada del día 18, aquí hay una raíz real doble y el polinomio nunca da valores negativos. De hecho, da $0$ sólo cuando a $x$ se le da el valor de la raíz doble y es positivo para todos los demás números reales. Por ejemplo,  si consideramos el polinomio $4x^{2}+12x+9= 4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2}$, que tiene una raíz doble $-\frac{3}{2}$, se tiene que:
$$4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2}\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}$$ y también se tiene que:
$$4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2} > 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2},+\infty) $$ que se puede expresar también así: $x\in \mathbb{R}\setminus \{ -\frac{3}{2} \}$.

$$4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2} < 0 $$ es imposible (ningún cuadrado es negativo), por tanto, su CS es el conjunto vacío $\emptyset$.

$$4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2} \leq 0 $$  sólo es posible si $4\cdot \Big( x+\frac{3}{2}  \Big)^{2}=0$, luego su CS es $\{ -\frac{3}{2} \}$, es decir, la propia raíz.

El caso de discriminante $\Delta<0$  es aún más simple, pues el polinomio da siempre valores positivos. Por ejemplo, si consideramos el polinomio $4x^{2}+24x+37$ que no tiene raíces reales (compruébese),
se tiene que:
$$4x^{2}+24x+37\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}$$
$$4x^{2}+24x+37 > 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}$$
$$4x^{2}+24x+37\leq 0 \longrightarrow \emptyset$$
$$4x^{2}+24x+37 < 0 \longrightarrow \emptyset$$
pues $4x^{2}+24x+37 = 4\cdot \Big( x+3 \Big)^{2}+1$ y el mínimo valor posible que puede dar este polinomio es $1$ (para $x=-3$).

 El método gráfico, si miráis detalladamente la página 123, consiste esencialmente en dibujar la parábola correspondiente a la función cuadrática $y=ax^{2}+bx+c$ (véase cualquier libro de 3ºESO).
Consideramos aquí sólo el caso $a>0$, con lo que la parábola tiene forma de U. Y toda la discusión se traslada ahora en averiguar para qué intervalos en el eje horizontal se tiene que la segunda coordenada (la "$y$") de cada punto de la gráfica es positiva, cero o negativa.

Finalizamos la entrada de hoy, recordando que el 18 de marzo pasado se propusieron todos los ejercicios de la página 123.  Si no los has hecho aún, te recomiendo que los hagas teniendo en cuenta estas explicaciones de hoy.
 No obstante, os dejo un par de vídeos (aquí y aquí) que os pueden ayudar. Están bien explicados, aunque yo no hablaría de "puntos críticos" para referirme a las raíces de un polinomio.

Hoy tenía previsto hablar sobre las inecuaciones polinómicas de grados superiores e inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones, pero al ver vuestras dudas por email consideré oportuno desarrollar un poquito más las inecuaciones cuadráticas.

Tomadlo con calma y trabajad en la medida de vuestras posibilidades, teniendo en cuenta las circunstancias. ¡Mucho ánimo!

(Ah! se me olvidaba), las soluciones de los ejercicios de la página 123 están aquí. No hagas trampa y resuélvelos tú primero antes de mirarlas 😉.

Fe de erratas: en el ejercicio 10d) la solución es $[-4,4]$. Y en 12d) la zona sombreada no es la correcta,  sino la que está bajo el eje horizontal. En la solución de 11f: donde pone $-5$ debe poner $5$ (17/04/2020) (Muchas gracias a los que os habéis percatado de ello👍)

Para anticipar un poco lo que hay en la página 125, piensa en la siguiente idea:

"El conjunto-solución $S$ de un sistema de dos inecuaciones es $S_1 \cap S_2$, donde $S_1$ es el conjunto-solución de la primera inecuación y $S_2$ es el conjunto-solución de la segunda inecuación". 

Ya sabéis lo que hay que hacer, ¿no?

Cuidaos mucho y ¡Salud para tod@s!