¡Hola tod@s!
Espero que estéis bien.
Terminamos la última entrada anticipándonos al contenido de la página 125 del libro e introdujimos la siguiente idea:
"El conjunto-solución $S$ de un sistema de dos inecuaciones es $S_1 \cap S_2$, donde $S_1$ es el conjunto-solución de la primera inecuación y $S_2$ es el conjunto-solución de la segunda inecuación".
Ya sabíais lo que había que hacer, ¿no? Obviamente, hacer los ejercicios de esa página.
Bien. Si no los has hecho, debes hacerlo ya en tu cuaderno.
Recuerda que todos los ejercicios que se proponen aquí deben figurar en tu cuaderno y en breve se te puede pedir que me envíes alguno de ellos por e-mail con un plazo determinado.
Si has hecho el ejemplo resuelto en la página 125, sabrás que hay que hallar el conjunto-solución $S_1$ de la primera
inecuación y el conjunto-solución $S_2$ de la segunda inecuación
por separado. El conjunto-solución $S$ del sistema es la intersección $S_1 \cap S_2$ de ambos conjuntos, pues
cada número real que sea solución del sistema significa que lo es de cada inecuación.
Aquí están las
soluciones de los ejercicios de la página 125. Resuelve primero y mira después.
(Fe de erratas: la solución del ejercicio 15b es $(5,+\infty)$ y no $(-\infty,5)$. ¡Muchas gracias!)
IMPORTANTE: el método gráfico para resolver
inecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, con una incógnita, aunque sí existe, NO se va a utilizar en este curso. Sólo usaremos
en estos casos el método analítico de la tabla de signos. La razón es que tendríamos que contar cómo son las gráficas de las funciones polinómicas de grado mayor que 2, y esto no es de este curso.
Consideremos las
inecuaciones polinómicas de grado superior a 2, con una incógnita $x$.
Lo primero de todo,
sin pérdida de generalidad podemos suponer en lo que sigue, que el coeficiente principal del polinomio (es decir, el coeficiente del monomio de mayor grado) es positivo. Si no lo fuese, bastaría con multiplicar a toda la inecuación por $-1$, usando la propiedad distributiva y "la propiedad peligrosa" de las desigualdades mencionada anteriormente, por ejemplo:
$$-5x^{3}+2x< -8 \rightarrow {\bf (-1)}\cdot(-5x^{3}+2x) >{\bf (-1)} \cdot (-8) \rightarrow5x^{3}-2x > 8 $$
Por tanto, tiene lugar la equivalencia $$-5x^{3}+2x+8<0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8>0$$
y análogamente $$-5x^{3}+2x+8\leq 0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8 \geq 0$$
Siempre es posible hacer que el coeficiente principal de la inecuación original (en este caso $-5$) sea positivo de modo que el conjunto-solución sea el mismo.
Supongamos que hemos puesto la inecuación en
forma estándar, es decir, de cualquiera de estas formas $P(x)>0$, $P(x)<0$, $P(x) \geq 0$ o $P(x)\leq 0$, donde $P(x)$ es un polinomio en $x$ de grado mayor que 2.
Recordad lo del coeficiente principal positivo que hemos dicho en los párrafos previos.
La solución de $P(x) \geq 0$ se obtiene fácilmente añadiendo a la solución de $P(x)>0$, los números reales para los cuales $P(x)=0$, es decir, sus raíces reales. Por tanto, habrá que poner
corchetes en vez de paréntesis en los extremos que correspondan de la unión de intervalos que forman la solución de $P(x)>0$.
Por ello, consideraremos sólo aquí el caso de las
desigualdades estrictas: $P(x)>0$ y $P(x)<0$.
El primer paso es descomponer el polinomio $P(x)$ en factores irreducibles, para ello es preciso calcular sus raíces reales (ver evaluación pasada) y representarlas en la recta, de menor a mayor.
Segundo paso: se construye una tabla de signos de cada factor en cada intervalo (como así se hace en el ejemplo resuelto de la página 124 del libro).
Ten presente que si hay $m$ raíces reales, habrá $m+1$ intervalos que analizar, para
cada factor.
Pero eso es fácil de hacer, pues
sólo tienes que preguntarte cuándo es positivo ese factor irreducible: si es del tipo $x-a$, será cuando $x$ sea $>a$ y si es un polinomio irreducible (=sin raíces reales) de segundo grado, será
siempre positivo para cualquier número real.
¡Los polinomios de segundo grado sin raíces reales, (con coeficiente principal positivo) se comportan como si NO estuviesen! $\rightarrow$se pueden omitir: siempre dan resultados positivos.
No obstante, hay algunos detalles relativos a la
multiplicidad (=número de veces que aparece una raíz del polinomio en la factorización) de las raíces que, si te fijas, simplifican enormemente la resolución de una inecuación polinómica de grado superior a 2, con una incógnita. Verás:
Todos sabemos que $(\text{negativo})^{par}=\text{positivo}$ y $(\text{negativo})^{impar}=\text{negativo}$
por tanto:
1.- Aquellos factores del tipo $(x-a)^{\text{par}}$, en la resolución de $P(x)>0$ y $P(x)<0$
no influyen: son
siempre positivos.
2.- Aquellos factores del tipo $(x-a)^{\text{impar}}$, se comportan igual que si el exponente fuese $1$ en la resolución de $P(x)>0$ y $P(x)<0$
Por ejemplo:
Resolver $(x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0$
(que es de grado 6) es lo mismo que resolver $(x+3)\cdot(x-6)>0$, que es cuadrática.
En cambio, resolver $(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)>0$
(que es de grado 9) es lo mismo que resolver $(x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)>0$ y se pueden resolver con tablas de signos, de modo similar a como hicimos en clase, pero con tres raíces: $-3, 5$ y $6$.
En efecto $$(x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3)\cup(6,+\infty)$$ y además $$(x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3]\cup \{ 5\}\cup[6,+\infty).$$
Y también:
$$(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)<0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)<0 $$ cuya solución es
$$x \in(-\infty,-3)\cup(5,6)$$
(compruébese, construyendo la tabla de signos)
y además
$$(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6) \leq 0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6) \leq 0 $$ cuya solución es
$$x \in(-\infty,-3]\cup [5,6]$$.
Teniendo en cuenta estas indicaciones, ya podéis resolver los ejercicios de la página 124.
(¡Atención!: En el ejercicio 14f hay un error en el enunciado: donde pone $-5x-6$, debe poner $-5x+6$)
Las soluciones, en una próxima entrada.
Sólo nos queda hablar de inecuaciones racionales (es muy fácil) y empezamos después la Trigonometría.
Cuidaos mucho y Salud para tod@s.
