2º Bachillerato CCSS (2ºC) (22/junio/2020) Repaso EvaU MACS2

Hola a tod@s.
Ésta va a ser la última entrada de las tres que he dedicado a repasar algunos contenidos útiles para la EvaU en este periodo del 15 al 22 de junio. En las dos entradas anteriores me he centrado en los contenidos tradicionalmente más complicados y cubren la mayor parte de las dos primeras evaluaciones: para refrescaros la memoria un poco.
La entrada de hoy trata de repasar contenidos más recientes para vosotros, centrándonos más específicamente en la EvaU.

PROGRAMACIÓN LINEAL

Es un caso especial e importante de problemas de optimización, útiles en CCSS.

Recordad que hay dos tipos de problema: con contexto ("programar la producción, en dos variables, de máximo beneficio o mínimo coste, con restricciones de tipo  "inecuación lineal") o sin contexto (calcular el máximo y/o mínimo absoluto de una función polinómica de primer grado en dos variables $x$ e $y$ , sujetas a restricciones o ligaduras en forma de inecuaciones lineales ). Dicha función polinómica se llama función objetivo: $$F(x,y)= ax+by+c$$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ (habitualmente $c=0$).

En el primer caso hay que realizar un planteamiento mediante una tabla (ver ejemplos de clase y/o del libro). En el segundo no hay nada que plantear: simplemente resolver.

En cualquiera de los casos se llega a que hay que encontrar primero el conjunto-solución del sistema de inecuaciones lineales: la región o zona factible.

Dos advertencias:

1) En clase utilizamos el convenio (minoritario) de tachar o sombrear lo que NO es solución y no retachar o sombrear de nuevo lo que ya está tachado. De este modo, la región factible será la zona que no esté sombreada y saldrá un dibujo limpio, claro y sin tachones múltiples. Los trazos de las rectas deben ser líneas discontinuas si la inecuación es estricta ($>, <$) y continuas en caso contrario ($\leq, \geq$).

Obviamente eres libre de seguir este convenio. Sea cual sea debes advertirlo bien claro si decides resolver un problema de Programación Lineal; y remarcar bien cuál es la zona factible.

2) Hay veces que el contexto del problema obliga a usar sólo valores enteros de $x$ e $y$. Esta condición es parte de las restricciones, y no siempre se menciona en el enunciado del problema. Si es el caso, se halla la región factible como si ambas variables fuesen, como siempre, números reales. Habrá que advertir en el ejercicio que la "verdadera" región factible está formada por los puntos de coordenadas enteras contenidos en este polígono.

A partir de aquí suponemos que $x \in \mathbb{R}$ y $y \in \mathbb{R}.$ 

La abrumadora mayoría de las veces la zona factible será un polígono irregular cerrado y convexo ("sin esquinas o vértices entrantes"). En casos infrecuentes, será un polígono abierto (ver ejercicios resueltos del final del tema 4).

La teoría dice que la solución óptima (máximo o mínimo de la función-objetivo) está siempre en la frontera del polígono, en particular entre los vértices de dicho polígono: por eso es importante identificar los vértices y calcular sus coordenadas resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones.
Ya sólo quedaría calcular cuánto vale la  función-objetivo en cada vértice y ver en cuál de éstos se obtiene el mayor y/o el menor valor.

Advertencia: Puede ocurrir que se alcance el mismo valor óptimo en dos vértices diferentes. Esto ocurre cuando la pendiente de las rectas asociadas a la función-objetivo y la de la recta que contiene a ambos vértices son iguales. Esto sólo quiere decir que ese valor óptimo (máximo o mínimo) de la función-objetivo se alcanza en más de una programación posible: las coordenadas de todos los puntos de la zona factible que estén dentro de ese segmento determinado por ambos vértices.
Éste es el único caso "raro" dentro de los típicos de la EvaU: lo normal es que no haya soluciones óptimas múltiples.

Para practicar: ejercicios de las páginas 117, 118, 119, 120 y 121. Os dejo aquí algunas soluciones.

 PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.

Repasemos el lenguaje básico:

Experimento aleatorio simple: Experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado se obtendrá entre los posibles resultados. Este conjunto de resultados posibles se llama espacio muestral $\Omega.$
Suceso elemental: Es cualquiera de los elementos de $\Omega.$
Suceso: cualquier subconjunto de $\Omega.$ El suceso imposible $\emptyset$ (conjunto vacío) es aquel que no puede ocurrir nunca. El suceso seguro $\Omega$ es aquel que siempre ocurre.
Decimos que un suceso $A$ se verifica (o se da) cuando el resultado del experimento está dentro de $A$.

Operaciones con sucesos:

Suceso Unión de $A$ y $B$: Se representa por $A\cup B$ y es el que se verifica cuando se da alguno de ellos. Se asocia en el lenguaje ordinario a la disyunción inclusiva "ó".

Suceso Intersección de  $A$ y $B$: Se representa por $A\cap B$ y es el que se verifica cuando se dan los dos a la vez. Se asocia en el lenguaje ordinario a la conjunción copulativa "y".
Si $A\cap B=\emptyset$, se dice que $A$ y $B$ son incompatibles: es imposible que se puedan dar a la vez.

Suceso contrario (o complementario) de $A$: se representa por $\overline{A}$ y es aquel que tiene los elementos de $\Omega$ que no son de $A$.
Obviamente, $A$ y $\overline{A}$ son incompatibles, $\overline{\overline{A}}=A$ y además $A \cup \overline{A}=\Omega$, es decir, uno de los dos se realiza siempre.

Suceso diferencia de $A$ "menos" $B$: Se representa habitualmente por $A-B$, es aquel que se verifica cuando se da $A$ pero no $B$.  Se define también como: $A-B= A \cap \overline{B}$.

Leyes de De Morgan: relacionan complementos, uniones e intersecciones. Muy útiles.
$$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \qquad \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$
Probabilidad de un suceso y propiedades:

A cada suceso $A$ le corresponde una probabilidad $P(A)$, que es un número real que cumple
$0\leq P(A) \leq 1$ de modo que $P(\Omega)=1$ y $P(A \cup B)= P(A)+P(B)$ para cualquier par de sucesos $A$ y $B$ incompatibles.

De esta definición se deducen las siguientes propiedades y teoremas:

1) Si el suceso $A$ está contenido en el suceso $B$, es decir $A \subseteq B$, entonces $P(A)\leq P(B)$; intuitivamente, si un suceso es de menor "tamaño" que otro, su probabilidad será menor o igual que la del otro.

2) $P(A-B)=P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)$.

3) $P(\overline{A})=1-P(A)$.

4) $P(\emptyset)=0$.

5) $P(A \cup  B)= P(A)+P(B)-P(A \cap  B)$.

6)  Si realizamos una descomposición del espacio muestral $\Omega$ en un número $n$ de sucesos $\{   A_{1}, A_{2}, \dots , A_{n}\}$ incompatibles dos a dos ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$)  (o sea, una partición) y hacemos una selección $\mathcal{A}$ (unión) de estos sucesos, la probabilidad de que se verifique alguno de los sucesos que forman dicha selección es
$$P(\bigcup_{A \in \mathcal{A} } A )=\sum_{A \in \mathcal{A} } P(A)$$
es decir, la suma de las probabilidades de los sucesos que constituyen $\mathcal{A}$.

7) Regla de Laplace: Si la partición anterior es equiprobable, es decir $P(A_{i})=1/n$ para cada $i=1,2, \dots, n$, y $\mathcal{A}$ es una selección (unión) de estos sucesos equiprobables, entonces:
$$P( \mathcal{A}  )=\frac{|\mathcal{A}|}{n}=\frac{ \text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}.$$

Probabilidad condicionada.

Un experimento aleatorio compuesto es aquel que resulta de realizar sucesivos experimentos aleatorios simples.

La probabilidad de que se realice un suceso $B$ si antes se ha verificado el suceso $A\neq \emptyset$ se llama probabilidad de $B$ condicionada a $A$, se denota por $P(B|A)$  y es, por definición:
$$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
El hecho de conocer que se ha verificado $A$, cambia la probabilidad de $B$: la información cambia las probabilidades. En nuestro caso se toma como nuevo "espacio muestral" el conjunto $A$.

Si ambos sucesos $A, B$ no son imposibles, es obvio que $P(B|A)\neq P(A|B)$. No hay más que intercambiar $A$ con $B$ en la definición anterior y tener en cuenta que la intersección de sucesos es conmutativa: $B \cap A= A \cap B$.

De esta definición se obtiene una fórmula general para hallar $P(A \cap B)$:

8) $P(A \cap B)= P(A| B) \cdot P(B)= P(B|A) \cdot P(A)$

Los sucesos $A$ y $B$ se dicen independientes si la aparición de uno no influye en la realización del otro. Cuando esto ocurre: $P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)$
(recordad cómo se obtenía la distribución binomial o el caso de experimentos repetidos)

9) Teorema de la probabilidad total (en el contexto habitual de la EvaU, este teorema y el de Bayes van siempre "de la mano")

Si realizamos un experimento compuesto de dos experimentos simples tal que en el primero tenemos una partición  de su espacio muestral $\Omega=   A_{1} \cup A_{2},\cup \dots  \cup A_{n}$  en $n$ sucesos mutuamente excluyentes ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$); si $B$ es un suceso del segundo experimento aleatorio simple, entonces:
$$P(B)=P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1})+P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2})+ \dots +P(B|A_{n}) \cdot P(A_{n}).$$
Se llega al suceso $B$ teniendo en cuenta todas las posibles "historias excluyentes" alternativas, pues pueden haberse dado previamente cualesquiera de los sucesos $A_1, A_2, \dots $. Esto se visualiza de forma dinámica con un diagrama de árbol como en la página 258 del libro.
Si se conociese qué alternativas han tenido lugar, la probabilidad de $B$ cambiaría, usándose el mismo teorema pero con el espacio muestral del primer experimento  reducido.

10) Teorema de Bayes: En las mismas condiciones del apartado 9), si se pide la probabilidad condicionada $P(A_{i}|B)$ para algún $i$, basta usar la definición de la condicional:
$$P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i}) \cdot P(A_{i})}{P(B)}$$
donde $P(B)$ se calcula mediante el apartado 9)

Para practicar: ejercicios de las páginas 262, 263, 264 y 265. Aquí te dejo algunas soluciones.
Siempre hay un ejercicio de probabilidad en ambas opciones: por tabla de contingencias, álgebra de sucesos y Teorema de Bayes (que incluye al teorema de la probabilidad total).

ESTADÍSTICA

Son pocas cosas, pero hay una pregunta fija de estadística en la EvaU, y es muy fácil obtener 2 puntos.
Debéis recordar que para calcular probabilidades con una variable aleatoria $x$ Normal $N(\mu;\sigma)$ hay que tipificar con la fórmula
$$z= \frac{x-\mu}{\sigma}$$
y usar la Tabla de la Normal estándar que os darán.

Recordad que $\mu$ es la media de la distribución y $\sigma$ su desviación típica (no la confundáis con la varianza, que es su cuadrado: $Var(x)=\sigma^{2}$).

Podéis repasar este cálculo de probabilidades con la Normal en las páginas 286 y 287. Ya lo hicimos en clase en los días previos al inicio del confinamiento.

Hasta aquí, ya os remito a la entrada del 16 de marzo de este blog,  donde continué hablando de la Estimación de la media poblacional a partir de la media muestral, con un nivel de confianza del $(1-\alpha)\cdot 100$%. Recordad las recomendaciones que os puse entonces y pongo aquí de nuevo.

(Observación: a veces, a $\alpha \cdot 100$% se le llama "nivel de significación". Por si acaso.)

Los ejercicios típicos están señalados en el enlace anterior. Como los ejercicios son siempre del mismo tipo, podéis encontrar numerosos ejemplos resueltos en  mi Aula Virtual del IES. Ahí tenéis todos los ejercicios de estadística (resueltos) de la Selectividad de los últimos veinte años.

SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES.

Os remito a las entradas que escribí durante el confinamiento. Los ejercicios típicos suelen ser de resolver problemas que se plantean con sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, operaciones con matrices, cálculo de matrices inversas y discusión de sistemas por cálculo de rangos de matrices. Los determinantes se pueden usar como método alternativo al método de Gauss. Sobre los determinantes, os remito a los apuntes que os envié a cada uno de vosotros en torno al día 1 de mayo pasado.
Ejercicios-modelo de estos temas en mi Aula virtual, como en el apartado anterior. Por supuesto, con sus soluciones.

¡Buena Suerte a tod@s! ... y cumplid las normas de seguridad sanitaria.