Espero que estéis bien.
Antes que nada, aquí tenéis las soluciones del ejercicio 66 de la página 113 (ecuaciones cuadráticas).
Os dejo propuesto, para que hagáis en vuestro cuaderno la siguiente hoja. En esta nueva hoja de repaso de ecuaciones cuadráticas, tendréis que utilizar las identidades notables $(a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2}$ y $(a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}$, la propiedad distributiva $a\cdot(b+c)=a\cdot b+a \cdot c$, la transposición de términos y reducción de monomios semejantes para llegar a la forma estándar $ax^{2}+bx+c=0$. ¡Ánimo con ello!. Os recuerdo que es importante dominar con soltura la resolución de ecuaciones cuadráticas.
En la anterior entrada os dejé propuestos los ejercicios de la página 128, siguiendo las indicaciones dadas entonces. Si no los has hecho, es conveniente que los hagas ya. Si has tenido alguna dificultad te dejo un enlace a un recurso interactivo que te puede ser útil también para lo que nos queda de tema, antes de empezar con la Estadística y Probabilidad. Lo tienes aquí.
No obstante, os dejo aquí las soluciones para que comprobéis si lo habéis hecho bien. Corregid vuestros errores.
Recordad que todo lo que escribo aquí es una guía de trabajo, para que mantengáis el ritmo de estudio. Por el momento, no es preciso que me enviéis nada por correo electrónico y recordad que si tenéis alguna duda puntual podéis escribirme. Todas las actividades tienen que estar resueltas y corregidas en vuestro cuaderno.
Hoy vamos a dar unos pasos más en el tema de Sistemas de ecuaciones lineales. En la página 133 se explica cómo resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En clase ya anticipé que se podía conectar el Álgebra y la Geometría si interpretamos el par $(x,y)$ como coordenadas cartesianas en el plano. Así, si despejamos "$y$" en una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas $ax+by=c$ quedará una expresión de este tipo: $$y=m \cdot x+n$$
$m$, que es el coeficiente que multiplica a $x$, recibe el nombre de pendiente.
El término independiente $n$ recibe el nombre de ordenada en el origen.
Si construimos una tabla de valores, dando libremente valores a $x$:
$$x \mapsto m \cdot x+n$$
obtenemos una secuencia de pares ordenados del tipo $(x, m \cdot x+n)$ que, a su vez representan coordenadas de puntos en el plano. Como uno es libre de dar valores (naturales, enteros, decimales,...) a la $x$, los puntos representados en el plano, al unirlos forman una línea continua llamada gráfica.
Bien, pues resulta que ¡las gráficas asociadas a $y=m \cdot x+n$ son líneas rectas en el plano!
(están excluidas las rectas verticales).
Os dejo un vídeo que he encontrado, donde se explica con claridad cómo representar gráficamente una función de tipo lineal (lineal o de proporcionalidad directa, afín y constante).
Entonces resolver gráficamente un sistema consiste , esencialmente en hallar las coordenadas del punto donde ambas rectas se cortan.
Esta idea tan sencilla, si se generaliza, permite resolver problemas algebraicos geométricamente y problemas geométricos algebraicamente. Esto fue un gran avance, porque cada tipo de ecuación tiene asociado un tipo particular de línea curva. Las parábolas, conocidas desde la Antigüedad, se pueden ver como gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas con dos variables $y=ax^{2}+bx+c$.
En resumen, para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Te propongo:
1º.- que leas atentamente el ejemplo resuelto de la página 131.
2º.- que resuelvas el siguiente sistema gráfica y analíticamente, con el método que prefieras:
$$\left\{\begin{array}{cc}
{\displaystyle x+y=4}
\\
{\displaystyle 2x-y=2}
\end{array} \right.$$
Comprueba si lo tienes bien aquí.
3º.- que resuelvas los ejercicios de la página 131 en tu cuaderno. Las soluciones, en una próxima entrada.
4º.- Estudiar detalladamente las páginas 132 y 133 sobre clasificación de sistemas lineales por número de soluciones.
Te dejo aquí un recurso interactivo para que practiques el contenido de ambas páginas.
5º.- En la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales más complejos, recuerda que hay que operar con monomios para reducir el sistema a la forma estándar:
$$\left\{\begin{array}{cc}
{\displaystyle ax+by=c}
\\
{\displaystyle a'x+b'y=c'}
\end{array} \right.$$
Para adquirir soltura, te propongo leer detalladamente los ejercicios resueltos de las páginas 129 y 130. A continuación puedes hacer en tu cuaderno los ejercicios 12 y 13. (Alguna vez se ha preguntado en examen). Las soluciones, en una próxima entrada.
6º.- Muchos problemas se resuelven de forma natural planteándolos con dos incógnitas. Para que lo veas te dejo aquí un recurso interactivo. Fíjate bien en el índice del margen izquierdo y las pestañas desplegables. El último apartado del índice está dedicado a la resolución de problemas.
7º.- Leer detalladamente los ejemplos resueltos de las páginas 134 y 135. Haced los problemas de la página 135. Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada.
Finalmente, por si alguien tuviese interés, en este enlace podéis conocer algo sobre las ecuaciones lineales y sistemas a lo largo de la Historia.
Cuidaos mucho y ¡Salud y Ánimo para tod@s!
