Parece ser que , de momento, la EvaU se celebrará en convocatoria ordinaria entre el 22 de junio y el 10 de julio.
Continuamos con nuestro tema. Si habéis leído el resumen que puse en la entrada anterior, os habréis dado cuenta de que en todo sistema escalonado reducido mediante el algoritmo de Gauss, hay unos elementos especiales de la matriz, que se llaman elementos pivote.
Un elemento pivote en una matriz escalonada es un elemento (número) no nulo que tiene ceros a la izquierda. Las columnas que contienen a los elementos pivote se llaman columnas pivote.
Si subrayas cada elemento pivote obtienes los "escalones" de la matriz escalonada, y el número de escalones será de crucial importancia en lo que sigue.
$$A^{+}=\left(
\begin{matrix}
\underline{\bf{1}} & 0 & 2 & 0 \\
0 & \underline{\bf{3}} & 0 & 3 \\
0 & 0 & 0 & \underline{\bf{-2}}
\end{matrix}
\right)$$
Por ejemplo, en esta matriz escalonada $A^{+}$ de tres filas y cuatro columnas, los números marcados en negrita son los pivotes y los subrayados son los escalones. Esta matriz tiene tres escalones. Diremos que es de rango tres: $rg(A^{+})=3$.
En esta otra matriz $A$ escalonada, de tres filas y tres columnas, obtenida suprimiendo la cuarta columna de $A^{+}$ hay entonces dos escalones:
$$A=\left(
\begin{matrix}
\underline{\bf{1}} & 0 & 2 \\
0 & \underline{\bf{3}} & 0 \\
0 & 0 & 0
\end{matrix}
\right)$$
Decimos que el rango de $A$ es dos: $rg(A)=2$.
Provisionalmente, denominamos rango de una matriz de $m$ filas $\times$ $n$ columnas al número de escalones de la matriz escalonada reducida mediante el algoritmo (método) de Gauss, tal como se cuenta en el Resumen aludido anteriormente.
Esta definición es provisional, pues la definición rigurosa de rango es otra. Pero de momento, a nosotros nos sirve, porque puede demostrarse que son equivalentes. También puede probarse que el rango de una matriz es, como máximo, el más pequeño de los dos números $m$ y $n$.
Resulta que el rango es fundamental para saber si un sistema de $m$ ecuaciones lineales con $n$ incógnitas tiene solución única (compatible determinado), más de una solución (compatible indeterminado, normalmente infinitas soluciones) o no tiene ninguna solución (incompatible). Esto es lo que se llama "discutir la existencia o no de soluciones".
En efecto, si nos piden resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre podremos escribir una matriz de coeficientes $A$ y una matriz "aumentada" o ampliada $A^{+}$ , añadiendo a la matriz $A$ la columna formada por los términos independientes (ver Resumen, primera página). $A$ sería una "submatriz" contenida en $A^{+}$
Entonces, tenemos el teorema de Rouché-Frobenius:
El sistema es:
- Compatible determinado si y sólo si $rg(A)=rg(A^{+})=n$, donde $n$ es el número de incógnitas.
- Compatible indeterminado si y sólo si $rg(A)=rg(A^{+}) \neq n$.
- Incompatible si y sólo si $rg(A) \neq rg(A^{+})$.
En ejemplos numéricos el mismo cálculo que lleva al rango también lleva a la solución o a que no existe, por tanto su interés práctico en estos casos es limitado. El teorema es más útil, por ejemplo, para discutir la existencia de soluciones en sistemas dependientes de un parámetro (véase ejemplo resuelto en la página 43 del libro), aunque veremos también que es posible calcular rangos utilizando determinantes (ya lo veremos más adelante).
Para afianzar el método de Gauss, te dejo aquí cuatro vídeos que pueden ayudarte a ver cómo se resuelven los casos compatible indeterminado y el caso incompatible, además de una discusión de existencia de soluciones: compatible indeterminado, incompatible y discusión: aquí y aquí. (La parte de la interpretación geométrica se puede omitir). Pongo estos vídeos, porque la persona aparece en ellos ¡¡cuenta la resolución del algoritmo de Gauss exactamente igual como yo la cuento en clase!!
Visualiza los vídeos primero y trata después de resolver los sistemas que aparecen en ellos después, para comprobar si te has enterado bien.
Fíjate bien en cuántos "escalones" hay en la forma escalonada reducida y comprueba que el Teorema de Rouché-Frobenius se cumple. Mira cuál sería el rango de $A$ y el de $A^{+}$ en cada sistema que se resuelve.
Por tanto, te propongo para practicar:
1.- Repite los ejemplos resueltos de las páginas 44 y 45. No te preocupes por la interpretación geométrica, en este curso no nos interesa.
2.- Trata de resolver el ejercicio 17 de la página 49.
3.- En los últimos años, se suelen preguntar en la EvaU problemas de sistemas de ecuaciones con contexto. lo que se espera es plantearlos y resolverlos por el algoritmo de Gauss, pero ocasionalmente, el método de sustitución a veces es más socorrido.
Léete el ejemplo 4 de la página 46 y resuelve el ejercicio 22 de la página 49.
Las soluciones de los ejercicios propuestos, en una próxima entrada.
Recordad que podéis escribirme a mi correo electrónico, en caso de dudas.
Por cierto, una curiosidad. El teorema citado más arriba se llama así en muchos textos de matemáticas en lengua española por influencia de Julio Rey Pastor, matemático español y académico de la Real Academia Española, que vivió en la primera mitad del siglo XX.
Cuidaos mucho y Salud para tod@s.
