¡Hola a tod@s!
Las soluciones de la hoja de ecuaciones de la anterior entrada están aquí. La hoja nueva de ecuaciones es ésta. Las soluciones en una próxima entrada. Estos ejercicios de repaso los debéis hacer todos. Recordad que os dije que había que dominar las ecuaciones de primer grado para 2º de ESO.
Aquí os incluyo las soluciones de los ejercicios que hay en las páginas 265, 266 y 269.
En esta entrada os voy a contar qué son los parámetros centrales de una distribución de frecuencias.
Los parámetros centrales son unos números que pretenden describir el valor "típico" o el valor "promedio" de la variable estadística x en todo el conjunto de datos. Los más usados son la Moda, la Mediana y la Media.
Recordad que, en una tabla o distribución de frecuencias, los N datos que se han recogido en una encuesta se organizan en n resultados distintos. Los datos, que pueden estar repetidos, los organizamos en una tabla contando cuántas veces aparece cada resultado x_1, x_2,...,x_n. Obviamente los resultados son necesariamente distintos, y el número de veces que aparece un resultado se llama "frecuencia absoluta" de dicho resultado.
Es muy habitual en Estadística etiquetar los resultados con sub-índices, así el primer resultado de la variable estadística x se denota x_1 y su frecuencia absoluta f_1.
El segundo resultado de la variable estadística x se denota x_2 y su frecuencia absoluta f_2.
El tercer resultado de la variable estadística x se denota x_3 y su frecuencia absoluta f_3.
El cuarto resultado de la variable estadística x se denota x_4 y su frecuencia absoluta f_4.
Y así sucesivamente...
Está claro que n es menor, o como mucho igual a N.
El resultado más frecuente, se llama Moda de la distribución de frecuencias, ya sea la variable estadística cuantitativa o no.
Cuando la variable aleatoria es cuantitativa discreta, además de la Moda también está la Media:
La Media \bar{x} de x es
\bar{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+...+x_n \cdot f_n}{N}.
Viene a ser un reparto a partes iguales: \bar{x} es el valor que le correspondería a cada individuo de la muestra si se repartiesen los valores acumulados de la variable a partes iguales.
(La media aritmética ordinaria de dos números a y b es \frac{a+b}{2}.)
Lee atentamente los ejemplos de la página 167. Son muy claros.
La Mediana es el dato central si N es impar. Y es la media aritmética ordinaria de los dos centrales si N es par .Y para calcularla siempre se ordenan de menor a mayor los DATOS, incluyendo las repeticiones.
Te propongo:
1.-Realizar las actividades de las páginas 267 y 268.
2.-Realizar las actividades 33 y 34 de la página 274.
Recuerda aquí cómo debe ser el cuaderno de matemáticas.
La soluciones, en la próxima entrada.
Cuidaos y mucho ánimo.
4ºESO Académicas (Ciencias) "4ºABE+4ºC" Sistemas de Inecuaciones e inecuaciones polinómicas, con una incógnita.
¡Hola tod@s!
Espero que estéis bien.
Terminamos la última entrada anticipándonos al contenido de la página 125 del libro e introdujimos la siguiente idea:
"El conjunto-solución S de un sistema de dos inecuaciones es S_1 \cap S_2, donde S_1 es el conjunto-solución de la primera inecuación y S_2 es el conjunto-solución de la segunda inecuación".
Ya sabíais lo que había que hacer, ¿no? Obviamente, hacer los ejercicios de esa página.
Bien. Si no los has hecho, debes hacerlo ya en tu cuaderno.
Recuerda que todos los ejercicios que se proponen aquí deben figurar en tu cuaderno y en breve se te puede pedir que me envíes alguno de ellos por e-mail con un plazo determinado.
Si has hecho el ejemplo resuelto en la página 125, sabrás que hay que hallar el conjunto-solución S_1 de la primera inecuación y el conjunto-solución S_2 de la segunda inecuación por separado. El conjunto-solución S del sistema es la intersección S_1 \cap S_2 de ambos conjuntos, pues cada número real que sea solución del sistema significa que lo es de cada inecuación.
Aquí están las soluciones de los ejercicios de la página 125. Resuelve primero y mira después.
(Fe de erratas: la solución del ejercicio 15b es (5,+\infty) y no (-\infty,5). ¡Muchas gracias!)
IMPORTANTE: el método gráfico para resolver inecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, con una incógnita, aunque sí existe, NO se va a utilizar en este curso. Sólo usaremos en estos casos el método analítico de la tabla de signos. La razón es que tendríamos que contar cómo son las gráficas de las funciones polinómicas de grado mayor que 2, y esto no es de este curso.
Consideremos las inecuaciones polinómicas de grado superior a 2, con una incógnita x.
Lo primero de todo, sin pérdida de generalidad podemos suponer en lo que sigue, que el coeficiente principal del polinomio (es decir, el coeficiente del monomio de mayor grado) es positivo. Si no lo fuese, bastaría con multiplicar a toda la inecuación por -1, usando la propiedad distributiva y "la propiedad peligrosa" de las desigualdades mencionada anteriormente, por ejemplo:
-5x^{3}+2x< -8 \rightarrow {\bf (-1)}\cdot(-5x^{3}+2x) >{\bf (-1)} \cdot (-8) \rightarrow5x^{3}-2x > 8
Por tanto, tiene lugar la equivalencia -5x^{3}+2x+8<0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8>0
y análogamente -5x^{3}+2x+8\leq 0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8 \geq 0
Siempre es posible hacer que el coeficiente principal de la inecuación original (en este caso -5) sea positivo de modo que el conjunto-solución sea el mismo.
Supongamos que hemos puesto la inecuación en forma estándar, es decir, de cualquiera de estas formas P(x)>0, P(x)<0, P(x) \geq 0 o P(x)\leq 0, donde P(x) es un polinomio en x de grado mayor que 2. Recordad lo del coeficiente principal positivo que hemos dicho en los párrafos previos.
La solución de P(x) \geq 0 se obtiene fácilmente añadiendo a la solución de P(x)>0, los números reales para los cuales P(x)=0, es decir, sus raíces reales. Por tanto, habrá que poner corchetes en vez de paréntesis en los extremos que correspondan de la unión de intervalos que forman la solución de P(x)>0.
Por ello, consideraremos sólo aquí el caso de las desigualdades estrictas: P(x)>0 y P(x)<0.
El primer paso es descomponer el polinomio P(x) en factores irreducibles, para ello es preciso calcular sus raíces reales (ver evaluación pasada) y representarlas en la recta, de menor a mayor.
Segundo paso: se construye una tabla de signos de cada factor en cada intervalo (como así se hace en el ejemplo resuelto de la página 124 del libro).
Ten presente que si hay m raíces reales, habrá m+1 intervalos que analizar, para cada factor.
Pero eso es fácil de hacer, pues sólo tienes que preguntarte cuándo es positivo ese factor irreducible: si es del tipo x-a, será cuando x sea >a y si es un polinomio irreducible (=sin raíces reales) de segundo grado, será siempre positivo para cualquier número real. ¡Los polinomios de segundo grado sin raíces reales, (con coeficiente principal positivo) se comportan como si NO estuviesen! \rightarrowse pueden omitir: siempre dan resultados positivos.
No obstante, hay algunos detalles relativos a la multiplicidad (=número de veces que aparece una raíz del polinomio en la factorización) de las raíces que, si te fijas, simplifican enormemente la resolución de una inecuación polinómica de grado superior a 2, con una incógnita. Verás:
Todos sabemos que (\text{negativo})^{par}=\text{positivo} y (\text{negativo})^{impar}=\text{negativo}
por tanto:
1.- Aquellos factores del tipo (x-a)^{\text{par}}, en la resolución de P(x)>0 y P(x)<0
no influyen: son siempre positivos.
2.- Aquellos factores del tipo (x-a)^{\text{impar}}, se comportan igual que si el exponente fuese 1 en la resolución de P(x)>0 y P(x)<0
Por ejemplo:
Resolver (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0 (que es de grado 6) es lo mismo que resolver (x+3)\cdot(x-6)>0, que es cuadrática.
En cambio, resolver (x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)>0 (que es de grado 9) es lo mismo que resolver (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)>0 y se pueden resolver con tablas de signos, de modo similar a como hicimos en clase, pero con tres raíces: -3, 5 y 6.
En efecto (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3)\cup(6,+\infty) y además (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3]\cup \{ 5\}\cup[6,+\infty).
Y también:
(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)<0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)<0 cuya solución es
x \in(-\infty,-3)\cup(5,6)
(compruébese, construyendo la tabla de signos)
y además
(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6) \leq 0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6) \leq 0 cuya solución es
x \in(-\infty,-3]\cup [5,6].
Teniendo en cuenta estas indicaciones, ya podéis resolver los ejercicios de la página 124.
(¡Atención!: En el ejercicio 14f hay un error en el enunciado: donde pone -5x-6, debe poner -5x+6)
Las soluciones, en una próxima entrada.
Sólo nos queda hablar de inecuaciones racionales (es muy fácil) y empezamos después la Trigonometría.
Cuidaos mucho y Salud para tod@s.
Espero que estéis bien.
Terminamos la última entrada anticipándonos al contenido de la página 125 del libro e introdujimos la siguiente idea:
"El conjunto-solución S de un sistema de dos inecuaciones es S_1 \cap S_2, donde S_1 es el conjunto-solución de la primera inecuación y S_2 es el conjunto-solución de la segunda inecuación".
Ya sabíais lo que había que hacer, ¿no? Obviamente, hacer los ejercicios de esa página.
Bien. Si no los has hecho, debes hacerlo ya en tu cuaderno.
Recuerda que todos los ejercicios que se proponen aquí deben figurar en tu cuaderno y en breve se te puede pedir que me envíes alguno de ellos por e-mail con un plazo determinado.
Si has hecho el ejemplo resuelto en la página 125, sabrás que hay que hallar el conjunto-solución S_1 de la primera inecuación y el conjunto-solución S_2 de la segunda inecuación por separado. El conjunto-solución S del sistema es la intersección S_1 \cap S_2 de ambos conjuntos, pues cada número real que sea solución del sistema significa que lo es de cada inecuación.
Aquí están las soluciones de los ejercicios de la página 125. Resuelve primero y mira después.
(Fe de erratas: la solución del ejercicio 15b es (5,+\infty) y no (-\infty,5). ¡Muchas gracias!)
IMPORTANTE: el método gráfico para resolver inecuaciones polinómicas de grado mayor que dos, con una incógnita, aunque sí existe, NO se va a utilizar en este curso. Sólo usaremos en estos casos el método analítico de la tabla de signos. La razón es que tendríamos que contar cómo son las gráficas de las funciones polinómicas de grado mayor que 2, y esto no es de este curso.
Consideremos las inecuaciones polinómicas de grado superior a 2, con una incógnita x.
Lo primero de todo, sin pérdida de generalidad podemos suponer en lo que sigue, que el coeficiente principal del polinomio (es decir, el coeficiente del monomio de mayor grado) es positivo. Si no lo fuese, bastaría con multiplicar a toda la inecuación por -1, usando la propiedad distributiva y "la propiedad peligrosa" de las desigualdades mencionada anteriormente, por ejemplo:
-5x^{3}+2x< -8 \rightarrow {\bf (-1)}\cdot(-5x^{3}+2x) >{\bf (-1)} \cdot (-8) \rightarrow5x^{3}-2x > 8
Por tanto, tiene lugar la equivalencia -5x^{3}+2x+8<0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8>0
y análogamente -5x^{3}+2x+8\leq 0 \Leftrightarrow 5x^{3}-2x-8 \geq 0
Siempre es posible hacer que el coeficiente principal de la inecuación original (en este caso -5) sea positivo de modo que el conjunto-solución sea el mismo.
Supongamos que hemos puesto la inecuación en forma estándar, es decir, de cualquiera de estas formas P(x)>0, P(x)<0, P(x) \geq 0 o P(x)\leq 0, donde P(x) es un polinomio en x de grado mayor que 2. Recordad lo del coeficiente principal positivo que hemos dicho en los párrafos previos.
La solución de P(x) \geq 0 se obtiene fácilmente añadiendo a la solución de P(x)>0, los números reales para los cuales P(x)=0, es decir, sus raíces reales. Por tanto, habrá que poner corchetes en vez de paréntesis en los extremos que correspondan de la unión de intervalos que forman la solución de P(x)>0.
Por ello, consideraremos sólo aquí el caso de las desigualdades estrictas: P(x)>0 y P(x)<0.
El primer paso es descomponer el polinomio P(x) en factores irreducibles, para ello es preciso calcular sus raíces reales (ver evaluación pasada) y representarlas en la recta, de menor a mayor.
Segundo paso: se construye una tabla de signos de cada factor en cada intervalo (como así se hace en el ejemplo resuelto de la página 124 del libro).
Ten presente que si hay m raíces reales, habrá m+1 intervalos que analizar, para cada factor.
Pero eso es fácil de hacer, pues sólo tienes que preguntarte cuándo es positivo ese factor irreducible: si es del tipo x-a, será cuando x sea >a y si es un polinomio irreducible (=sin raíces reales) de segundo grado, será siempre positivo para cualquier número real. ¡Los polinomios de segundo grado sin raíces reales, (con coeficiente principal positivo) se comportan como si NO estuviesen! \rightarrowse pueden omitir: siempre dan resultados positivos.
No obstante, hay algunos detalles relativos a la multiplicidad (=número de veces que aparece una raíz del polinomio en la factorización) de las raíces que, si te fijas, simplifican enormemente la resolución de una inecuación polinómica de grado superior a 2, con una incógnita. Verás:
Todos sabemos que (\text{negativo})^{par}=\text{positivo} y (\text{negativo})^{impar}=\text{negativo}
por tanto:
1.- Aquellos factores del tipo (x-a)^{\text{par}}, en la resolución de P(x)>0 y P(x)<0
no influyen: son siempre positivos.
2.- Aquellos factores del tipo (x-a)^{\text{impar}}, se comportan igual que si el exponente fuese 1 en la resolución de P(x)>0 y P(x)<0
Por ejemplo:
Resolver (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0 (que es de grado 6) es lo mismo que resolver (x+3)\cdot(x-6)>0, que es cuadrática.
En cambio, resolver (x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)>0 (que es de grado 9) es lo mismo que resolver (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)>0 y se pueden resolver con tablas de signos, de modo similar a como hicimos en clase, pero con tres raíces: -3, 5 y 6.
En efecto (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6)>0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3)\cup(6,+\infty) y además (x+3)\cdot(x-5)^{4}\cdot(x-6) \geq 0 \Leftrightarrow x \in (-\infty,-3]\cup \{ 5\}\cup[6,+\infty).
Y también:
(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6)<0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6)<0 cuya solución es
x \in(-\infty,-3)\cup(5,6)
(compruébese, construyendo la tabla de signos)
y además
(x+3)\cdot(x-5)^{7}\cdot(x-6) \leq 0 \Leftrightarrow (x+3)\cdot(x-5)\cdot(x-6) \leq 0 cuya solución es
x \in(-\infty,-3]\cup [5,6].
Teniendo en cuenta estas indicaciones, ya podéis resolver los ejercicios de la página 124.
(¡Atención!: En el ejercicio 14f hay un error en el enunciado: donde pone -5x-6, debe poner -5x+6)
Las soluciones, en una próxima entrada.
Sólo nos queda hablar de inecuaciones racionales (es muy fácil) y empezamos después la Trigonometría.
Cuidaos mucho y Salud para tod@s.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) : Sistemas escalonados: Rango y Teorema de Rouché-Frobenius.
¡Hola a tod@s!
Parece ser que , de momento, la EvaU se celebrará en convocatoria ordinaria entre el 22 de junio y el 10 de julio.
Continuamos con nuestro tema. Si habéis leído el resumen que puse en la entrada anterior, os habréis dado cuenta de que en todo sistema escalonado reducido mediante el algoritmo de Gauss, hay unos elementos especiales de la matriz, que se llaman elementos pivote.
Un elemento pivote en una matriz escalonada es un elemento (número) no nulo que tiene ceros a la izquierda. Las columnas que contienen a los elementos pivote se llaman columnas pivote.
Si subrayas cada elemento pivote obtienes los "escalones" de la matriz escalonada, y el número de escalones será de crucial importancia en lo que sigue.
A^{+}=\left( \begin{matrix} \underline{\bf{1}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & \underline{\bf{3}} & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{\bf{-2}} \end{matrix} \right)
Por ejemplo, en esta matriz escalonada A^{+} de tres filas y cuatro columnas, los números marcados en negrita son los pivotes y los subrayados son los escalones. Esta matriz tiene tres escalones. Diremos que es de rango tres: rg(A^{+})=3.
En esta otra matriz A escalonada, de tres filas y tres columnas, obtenida suprimiendo la cuarta columna de A^{+} hay entonces dos escalones:
A=\left( \begin{matrix} \underline{\bf{1}} & 0 & 2 \\ 0 & \underline{\bf{3}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
Decimos que el rango de A es dos: rg(A)=2.
Provisionalmente, denominamos rango de una matriz de m filas \times n columnas al número de escalones de la matriz escalonada reducida mediante el algoritmo (método) de Gauss, tal como se cuenta en el Resumen aludido anteriormente.
Esta definición es provisional, pues la definición rigurosa de rango es otra. Pero de momento, a nosotros nos sirve, porque puede demostrarse que son equivalentes. También puede probarse que el rango de una matriz es, como máximo, el más pequeño de los dos números m y n.
Resulta que el rango es fundamental para saber si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene solución única (compatible determinado), más de una solución (compatible indeterminado, normalmente infinitas soluciones) o no tiene ninguna solución (incompatible). Esto es lo que se llama "discutir la existencia o no de soluciones".
En efecto, si nos piden resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre podremos escribir una matriz de coeficientes A y una matriz "aumentada" o ampliada A^{+} , añadiendo a la matriz A la columna formada por los términos independientes (ver Resumen, primera página). A sería una "submatriz" contenida en A^{+}
Entonces, tenemos el teorema de Rouché-Frobenius:
El sistema es:
Parece ser que , de momento, la EvaU se celebrará en convocatoria ordinaria entre el 22 de junio y el 10 de julio.
Continuamos con nuestro tema. Si habéis leído el resumen que puse en la entrada anterior, os habréis dado cuenta de que en todo sistema escalonado reducido mediante el algoritmo de Gauss, hay unos elementos especiales de la matriz, que se llaman elementos pivote.
Un elemento pivote en una matriz escalonada es un elemento (número) no nulo que tiene ceros a la izquierda. Las columnas que contienen a los elementos pivote se llaman columnas pivote.
Si subrayas cada elemento pivote obtienes los "escalones" de la matriz escalonada, y el número de escalones será de crucial importancia en lo que sigue.
A^{+}=\left( \begin{matrix} \underline{\bf{1}} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & \underline{\bf{3}} & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & \underline{\bf{-2}} \end{matrix} \right)
Por ejemplo, en esta matriz escalonada A^{+} de tres filas y cuatro columnas, los números marcados en negrita son los pivotes y los subrayados son los escalones. Esta matriz tiene tres escalones. Diremos que es de rango tres: rg(A^{+})=3.
En esta otra matriz A escalonada, de tres filas y tres columnas, obtenida suprimiendo la cuarta columna de A^{+} hay entonces dos escalones:
A=\left( \begin{matrix} \underline{\bf{1}} & 0 & 2 \\ 0 & \underline{\bf{3}} & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{matrix} \right)
Decimos que el rango de A es dos: rg(A)=2.
Provisionalmente, denominamos rango de una matriz de m filas \times n columnas al número de escalones de la matriz escalonada reducida mediante el algoritmo (método) de Gauss, tal como se cuenta en el Resumen aludido anteriormente.
Esta definición es provisional, pues la definición rigurosa de rango es otra. Pero de momento, a nosotros nos sirve, porque puede demostrarse que son equivalentes. También puede probarse que el rango de una matriz es, como máximo, el más pequeño de los dos números m y n.
Resulta que el rango es fundamental para saber si un sistema de m ecuaciones lineales con n incógnitas tiene solución única (compatible determinado), más de una solución (compatible indeterminado, normalmente infinitas soluciones) o no tiene ninguna solución (incompatible). Esto es lo que se llama "discutir la existencia o no de soluciones".
En efecto, si nos piden resolver un sistema de ecuaciones lineales, siempre podremos escribir una matriz de coeficientes A y una matriz "aumentada" o ampliada A^{+} , añadiendo a la matriz A la columna formada por los términos independientes (ver Resumen, primera página). A sería una "submatriz" contenida en A^{+}
Entonces, tenemos el teorema de Rouché-Frobenius:
El sistema es:
- Compatible determinado si y sólo si rg(A)=rg(A^{+})=n, donde n es el número de incógnitas.
- Compatible indeterminado si y sólo si rg(A)=rg(A^{+}) \neq n.
- Incompatible si y sólo si rg(A) \neq rg(A^{+}).
En ejemplos numéricos el mismo cálculo que lleva al rango también lleva a la solución o a que no existe, por tanto su interés práctico en estos casos es limitado. El teorema es más útil, por ejemplo, para discutir la existencia de soluciones en sistemas dependientes de un parámetro (véase ejemplo resuelto en la página 43 del libro), aunque veremos también que es posible calcular rangos utilizando determinantes (ya lo veremos más adelante).
Para afianzar el método de Gauss, te dejo aquí cuatro vídeos que pueden ayudarte a ver cómo se resuelven los casos compatible indeterminado y el caso incompatible, además de una discusión de existencia de soluciones: compatible indeterminado, incompatible y discusión: aquí y aquí. (La parte de la interpretación geométrica se puede omitir). Pongo estos vídeos, porque la persona aparece en ellos ¡¡cuenta la resolución del algoritmo de Gauss exactamente igual como yo la cuento en clase!!
Visualiza los vídeos primero y trata después de resolver los sistemas que aparecen en ellos después, para comprobar si te has enterado bien.
Fíjate bien en cuántos "escalones" hay en la forma escalonada reducida y comprueba que el Teorema de Rouché-Frobenius se cumple. Mira cuál sería el rango de A y el de A^{+} en cada sistema que se resuelve.
Por tanto, te propongo para practicar:
1.- Repite los ejemplos resueltos de las páginas 44 y 45. No te preocupes por la interpretación geométrica, en este curso no nos interesa.
2.- Trata de resolver el ejercicio 17 de la página 49.
3.- En los últimos años, se suelen preguntar en la EvaU problemas de sistemas de ecuaciones con contexto. lo que se espera es plantearlos y resolverlos por el algoritmo de Gauss, pero ocasionalmente, el método de sustitución a veces es más socorrido.
Léete el ejemplo 4 de la página 46 y resuelve el ejercicio 22 de la página 49.
Las soluciones de los ejercicios propuestos, en una próxima entrada.
Recordad que podéis escribirme a mi correo electrónico, en caso de dudas.
Por cierto, una curiosidad. El teorema citado más arriba se llama así en muchos textos de matemáticas en lengua española por influencia de Julio Rey Pastor, matemático español y académico de la Real Academia Española, que vivió en la primera mitad del siglo XX.
Cuidaos mucho y Salud para tod@s.
2º ESO "C" Sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: método gráfico y problemas.
¡Hola a tod@s!
Espero que estéis bien.
Antes que nada, aquí tenéis las soluciones del ejercicio 66 de la página 113 (ecuaciones cuadráticas).
Os dejo propuesto, para que hagáis en vuestro cuaderno la siguiente hoja. En esta nueva hoja de repaso de ecuaciones cuadráticas, tendréis que utilizar las identidades notables (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2} y (a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}, la propiedad distributiva a\cdot(b+c)=a\cdot b+a \cdot c, la transposición de términos y reducción de monomios semejantes para llegar a la forma estándar ax^{2}+bx+c=0. ¡Ánimo con ello!. Os recuerdo que es importante dominar con soltura la resolución de ecuaciones cuadráticas.
En la anterior entrada os dejé propuestos los ejercicios de la página 128, siguiendo las indicaciones dadas entonces. Si no los has hecho, es conveniente que los hagas ya. Si has tenido alguna dificultad te dejo un enlace a un recurso interactivo que te puede ser útil también para lo que nos queda de tema, antes de empezar con la Estadística y Probabilidad. Lo tienes aquí.
No obstante, os dejo aquí las soluciones para que comprobéis si lo habéis hecho bien. Corregid vuestros errores.
Recordad que todo lo que escribo aquí es una guía de trabajo, para que mantengáis el ritmo de estudio. Por el momento, no es preciso que me enviéis nada por correo electrónico y recordad que si tenéis alguna duda puntual podéis escribirme. Todas las actividades tienen que estar resueltas y corregidas en vuestro cuaderno.
Hoy vamos a dar unos pasos más en el tema de Sistemas de ecuaciones lineales. En la página 133 se explica cómo resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En clase ya anticipé que se podía conectar el Álgebra y la Geometría si interpretamos el par (x,y) como coordenadas cartesianas en el plano. Así, si despejamos "y" en una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas ax+by=c quedará una expresión de este tipo: y=m \cdot x+n
m, que es el coeficiente que multiplica a x, recibe el nombre de pendiente.
El término independiente n recibe el nombre de ordenada en el origen.
Si construimos una tabla de valores, dando libremente valores a x:
x \mapsto m \cdot x+n
obtenemos una secuencia de pares ordenados del tipo (x, m \cdot x+n) que, a su vez representan coordenadas de puntos en el plano. Como uno es libre de dar valores (naturales, enteros, decimales,...) a la x, los puntos representados en el plano, al unirlos forman una línea continua llamada gráfica.
Bien, pues resulta que ¡las gráficas asociadas a y=m \cdot x+n son líneas rectas en el plano!
(están excluidas las rectas verticales).
Os dejo un vídeo que he encontrado, donde se explica con claridad cómo representar gráficamente una función de tipo lineal (lineal o de proporcionalidad directa, afín y constante).
Entonces resolver gráficamente un sistema consiste , esencialmente en hallar las coordenadas del punto donde ambas rectas se cortan.
Esta idea tan sencilla, si se generaliza, permite resolver problemas algebraicos geométricamente y problemas geométricos algebraicamente. Esto fue un gran avance, porque cada tipo de ecuación tiene asociado un tipo particular de línea curva. Las parábolas, conocidas desde la Antigüedad, se pueden ver como gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas con dos variables y=ax^{2}+bx+c.
En resumen, para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Te propongo:
1º.- que leas atentamente el ejemplo resuelto de la página 131.
2º.- que resuelvas el siguiente sistema gráfica y analíticamente, con el método que prefieras:
\left\{\begin{array}{cc} {\displaystyle x+y=4} \\ {\displaystyle 2x-y=2} \end{array} \right.
Comprueba si lo tienes bien aquí.
3º.- que resuelvas los ejercicios de la página 131 en tu cuaderno. Las soluciones, en una próxima entrada.
4º.- Estudiar detalladamente las páginas 132 y 133 sobre clasificación de sistemas lineales por número de soluciones.
Te dejo aquí un recurso interactivo para que practiques el contenido de ambas páginas.
5º.- En la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales más complejos, recuerda que hay que operar con monomios para reducir el sistema a la forma estándar:
\left\{\begin{array}{cc} {\displaystyle ax+by=c} \\ {\displaystyle a'x+b'y=c'} \end{array} \right.
Para adquirir soltura, te propongo leer detalladamente los ejercicios resueltos de las páginas 129 y 130. A continuación puedes hacer en tu cuaderno los ejercicios 12 y 13. (Alguna vez se ha preguntado en examen). Las soluciones, en una próxima entrada.
6º.- Muchos problemas se resuelven de forma natural planteándolos con dos incógnitas. Para que lo veas te dejo aquí un recurso interactivo. Fíjate bien en el índice del margen izquierdo y las pestañas desplegables. El último apartado del índice está dedicado a la resolución de problemas.
7º.- Leer detalladamente los ejemplos resueltos de las páginas 134 y 135. Haced los problemas de la página 135. Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada.
Finalmente, por si alguien tuviese interés, en este enlace podéis conocer algo sobre las ecuaciones lineales y sistemas a lo largo de la Historia.
Cuidaos mucho y ¡Salud y Ánimo para tod@s!
Espero que estéis bien.
Antes que nada, aquí tenéis las soluciones del ejercicio 66 de la página 113 (ecuaciones cuadráticas).
Os dejo propuesto, para que hagáis en vuestro cuaderno la siguiente hoja. En esta nueva hoja de repaso de ecuaciones cuadráticas, tendréis que utilizar las identidades notables (a\pm b)^{2}=a^{2}\pm 2ab+b^{2} y (a+b)\cdot(a-b)=a^{2}-b^{2}, la propiedad distributiva a\cdot(b+c)=a\cdot b+a \cdot c, la transposición de términos y reducción de monomios semejantes para llegar a la forma estándar ax^{2}+bx+c=0. ¡Ánimo con ello!. Os recuerdo que es importante dominar con soltura la resolución de ecuaciones cuadráticas.
En la anterior entrada os dejé propuestos los ejercicios de la página 128, siguiendo las indicaciones dadas entonces. Si no los has hecho, es conveniente que los hagas ya. Si has tenido alguna dificultad te dejo un enlace a un recurso interactivo que te puede ser útil también para lo que nos queda de tema, antes de empezar con la Estadística y Probabilidad. Lo tienes aquí.
No obstante, os dejo aquí las soluciones para que comprobéis si lo habéis hecho bien. Corregid vuestros errores.
Recordad que todo lo que escribo aquí es una guía de trabajo, para que mantengáis el ritmo de estudio. Por el momento, no es preciso que me enviéis nada por correo electrónico y recordad que si tenéis alguna duda puntual podéis escribirme. Todas las actividades tienen que estar resueltas y corregidas en vuestro cuaderno.
Hoy vamos a dar unos pasos más en el tema de Sistemas de ecuaciones lineales. En la página 133 se explica cómo resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas.
En clase ya anticipé que se podía conectar el Álgebra y la Geometría si interpretamos el par (x,y) como coordenadas cartesianas en el plano. Así, si despejamos "y" en una ecuación polinómica de primer grado con dos incógnitas ax+by=c quedará una expresión de este tipo: y=m \cdot x+n
m, que es el coeficiente que multiplica a x, recibe el nombre de pendiente.
El término independiente n recibe el nombre de ordenada en el origen.
Si construimos una tabla de valores, dando libremente valores a x:
x \mapsto m \cdot x+n
obtenemos una secuencia de pares ordenados del tipo (x, m \cdot x+n) que, a su vez representan coordenadas de puntos en el plano. Como uno es libre de dar valores (naturales, enteros, decimales,...) a la x, los puntos representados en el plano, al unirlos forman una línea continua llamada gráfica.
Bien, pues resulta que ¡las gráficas asociadas a y=m \cdot x+n son líneas rectas en el plano!
(están excluidas las rectas verticales).
Os dejo un vídeo que he encontrado, donde se explica con claridad cómo representar gráficamente una función de tipo lineal (lineal o de proporcionalidad directa, afín y constante).
Entonces resolver gráficamente un sistema consiste , esencialmente en hallar las coordenadas del punto donde ambas rectas se cortan.
Esta idea tan sencilla, si se generaliza, permite resolver problemas algebraicos geométricamente y problemas geométricos algebraicamente. Esto fue un gran avance, porque cada tipo de ecuación tiene asociado un tipo particular de línea curva. Las parábolas, conocidas desde la Antigüedad, se pueden ver como gráficas de las siguientes ecuaciones cuadráticas con dos variables y=ax^{2}+bx+c.
En resumen, para resolver gráficamente un sistema de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas:
Te propongo:
1º.- que leas atentamente el ejemplo resuelto de la página 131.
2º.- que resuelvas el siguiente sistema gráfica y analíticamente, con el método que prefieras:
\left\{\begin{array}{cc} {\displaystyle x+y=4} \\ {\displaystyle 2x-y=2} \end{array} \right.
Comprueba si lo tienes bien aquí.
3º.- que resuelvas los ejercicios de la página 131 en tu cuaderno. Las soluciones, en una próxima entrada.
4º.- Estudiar detalladamente las páginas 132 y 133 sobre clasificación de sistemas lineales por número de soluciones.
Te dejo aquí un recurso interactivo para que practiques el contenido de ambas páginas.
5º.- En la resolución de sistemas de dos ecuaciones lineales más complejos, recuerda que hay que operar con monomios para reducir el sistema a la forma estándar:
\left\{\begin{array}{cc} {\displaystyle ax+by=c} \\ {\displaystyle a'x+b'y=c'} \end{array} \right.
Para adquirir soltura, te propongo leer detalladamente los ejercicios resueltos de las páginas 129 y 130. A continuación puedes hacer en tu cuaderno los ejercicios 12 y 13. (Alguna vez se ha preguntado en examen). Las soluciones, en una próxima entrada.
6º.- Muchos problemas se resuelven de forma natural planteándolos con dos incógnitas. Para que lo veas te dejo aquí un recurso interactivo. Fíjate bien en el índice del margen izquierdo y las pestañas desplegables. El último apartado del índice está dedicado a la resolución de problemas.
7º.- Leer detalladamente los ejemplos resueltos de las páginas 134 y 135. Haced los problemas de la página 135. Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada.
Finalmente, por si alguien tuviese interés, en este enlace podéis conocer algo sobre las ecuaciones lineales y sistemas a lo largo de la Historia.
Cuidaos mucho y ¡Salud y Ánimo para tod@s!
4ºESO Académicas (Ciencias) "4ºABE+4ºC" Inecuaciones cuadráticas (2ªparte) con una incógnita.
¡Hola a tod@s!
He recibido algunos correos electrónicos vuestros solicitando una explicación más detallada sobre cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita. Tenía previsto hablar de otra cosa pero...
ok!
Se pueden resolver analíticamente con una tabla de signos, tal como os conté en clase. Tenéis un ejemplo resuelto de ello en la página 122 del libro.
En clase resolvimos el caso en que \Delta>0, que tiene dos raíces reales y distintas. En este caso, el esquema de signos es siempre el mismo: +, -,+. Así , por ejemplo, si consideramos el polinomio x^{2}+3x-10=(x+5)\cdot(x-2), cuyas raíces reales son -5 y 2 tenemos que (ordenando las raíces de menor a mayor):
x^{2}+3x-10>0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5)\cup(2,+\infty)
x^{2}+3x-10\geq 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5]\cup[2,+\infty)
x^{2}+3x-10<0 \longrightarrow x\in (-5,2)
x^{2}+3x-10\leq 0 \longrightarrow x\in [-5,2]
Recordad que el corchete "[" incluye el extremo y el paréntesis lo excluye del conjunto-solución (CS).
El caso en que el discriminante \Delta es cero, se resuelve del mismo modo. Según lo dicho en la entrada del día 18, aquí hay una raíz real doble y el polinomio nunca da valores negativos. De hecho, da 0 sólo cuando a x se le da el valor de la raíz doble y es positivo para todos los demás números reales. Por ejemplo, si consideramos el polinomio 4x^{2}+12x+9= 4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}, que tiene una raíz doble -\frac{3}{2}, se tiene que:
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R} y también se tiene que:
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} > 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2},+\infty) que se puede expresar también así: x\in \mathbb{R}\setminus \{ -\frac{3}{2} \}.
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} < 0 es imposible (ningún cuadrado es negativo), por tanto, su CS es el conjunto vacío \emptyset.
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} \leq 0 sólo es posible si 4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}=0, luego su CS es \{ -\frac{3}{2} \}, es decir, la propia raíz.
El caso de discriminante \Delta<0 es aún más simple, pues el polinomio da siempre valores positivos. Por ejemplo, si consideramos el polinomio 4x^{2}+24x+37 que no tiene raíces reales (compruébese),
se tiene que:
4x^{2}+24x+37\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}
4x^{2}+24x+37 > 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}
4x^{2}+24x+37\leq 0 \longrightarrow \emptyset
4x^{2}+24x+37 < 0 \longrightarrow \emptyset
pues 4x^{2}+24x+37 = 4\cdot \Big( x+3 \Big)^{2}+1 y el mínimo valor posible que puede dar este polinomio es 1 (para x=-3).
El método gráfico, si miráis detalladamente la página 123, consiste esencialmente en dibujar la parábola correspondiente a la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c (véase cualquier libro de 3ºESO).
Consideramos aquí sólo el caso a>0, con lo que la parábola tiene forma de U. Y toda la discusión se traslada ahora en averiguar para qué intervalos en el eje horizontal se tiene que la segunda coordenada (la "y") de cada punto de la gráfica es positiva, cero o negativa.
Finalizamos la entrada de hoy, recordando que el 18 de marzo pasado se propusieron todos los ejercicios de la página 123. Si no los has hecho aún, te recomiendo que los hagas teniendo en cuenta estas explicaciones de hoy.
No obstante, os dejo un par de vídeos (aquí y aquí) que os pueden ayudar. Están bien explicados, aunque yo no hablaría de "puntos críticos" para referirme a las raíces de un polinomio.
Hoy tenía previsto hablar sobre las inecuaciones polinómicas de grados superiores e inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones, pero al ver vuestras dudas por email consideré oportuno desarrollar un poquito más las inecuaciones cuadráticas.
Tomadlo con calma y trabajad en la medida de vuestras posibilidades, teniendo en cuenta las circunstancias. ¡Mucho ánimo!
(Ah! se me olvidaba), las soluciones de los ejercicios de la página 123 están aquí. No hagas trampa y resuélvelos tú primero antes de mirarlas 😉.
Fe de erratas: en el ejercicio 10d) la solución es [-4,4]. Y en 12d) la zona sombreada no es la correcta, sino la que está bajo el eje horizontal. En la solución de 11f: donde pone -5 debe poner 5 (17/04/2020) (Muchas gracias a los que os habéis percatado de ello👍)
Para anticipar un poco lo que hay en la página 125, piensa en la siguiente idea:
"El conjunto-solución S de un sistema de dos inecuaciones es S_1 \cap S_2, donde S_1 es el conjunto-solución de la primera inecuación y S_2 es el conjunto-solución de la segunda inecuación".
Ya sabéis lo que hay que hacer, ¿no?
Cuidaos mucho y ¡Salud para tod@s!
He recibido algunos correos electrónicos vuestros solicitando una explicación más detallada sobre cómo resolver inecuaciones cuadráticas con una incógnita. Tenía previsto hablar de otra cosa pero...
ok!
Se pueden resolver analíticamente con una tabla de signos, tal como os conté en clase. Tenéis un ejemplo resuelto de ello en la página 122 del libro.
En clase resolvimos el caso en que \Delta>0, que tiene dos raíces reales y distintas. En este caso, el esquema de signos es siempre el mismo: +, -,+. Así , por ejemplo, si consideramos el polinomio x^{2}+3x-10=(x+5)\cdot(x-2), cuyas raíces reales son -5 y 2 tenemos que (ordenando las raíces de menor a mayor):
x^{2}+3x-10>0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5)\cup(2,+\infty)
x^{2}+3x-10\geq 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-5]\cup[2,+\infty)
x^{2}+3x-10<0 \longrightarrow x\in (-5,2)
x^{2}+3x-10\leq 0 \longrightarrow x\in [-5,2]
Recordad que el corchete "[" incluye el extremo y el paréntesis lo excluye del conjunto-solución (CS).
El caso en que el discriminante \Delta es cero, se resuelve del mismo modo. Según lo dicho en la entrada del día 18, aquí hay una raíz real doble y el polinomio nunca da valores negativos. De hecho, da 0 sólo cuando a x se le da el valor de la raíz doble y es positivo para todos los demás números reales. Por ejemplo, si consideramos el polinomio 4x^{2}+12x+9= 4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}, que tiene una raíz doble -\frac{3}{2}, se tiene que:
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R} y también se tiene que:
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} > 0 \longrightarrow x\in (-\infty,-\frac{3}{2})\cup(-\frac{3}{2},+\infty) que se puede expresar también así: x\in \mathbb{R}\setminus \{ -\frac{3}{2} \}.
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} < 0 es imposible (ningún cuadrado es negativo), por tanto, su CS es el conjunto vacío \emptyset.
4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2} \leq 0 sólo es posible si 4\cdot \Big( x+\frac{3}{2} \Big)^{2}=0, luego su CS es \{ -\frac{3}{2} \}, es decir, la propia raíz.
El caso de discriminante \Delta<0 es aún más simple, pues el polinomio da siempre valores positivos. Por ejemplo, si consideramos el polinomio 4x^{2}+24x+37 que no tiene raíces reales (compruébese),
se tiene que:
4x^{2}+24x+37\geq 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}
4x^{2}+24x+37 > 0 \longrightarrow x\in \mathbb{R}
4x^{2}+24x+37\leq 0 \longrightarrow \emptyset
4x^{2}+24x+37 < 0 \longrightarrow \emptyset
pues 4x^{2}+24x+37 = 4\cdot \Big( x+3 \Big)^{2}+1 y el mínimo valor posible que puede dar este polinomio es 1 (para x=-3).
El método gráfico, si miráis detalladamente la página 123, consiste esencialmente en dibujar la parábola correspondiente a la función cuadrática y=ax^{2}+bx+c (véase cualquier libro de 3ºESO).
Consideramos aquí sólo el caso a>0, con lo que la parábola tiene forma de U. Y toda la discusión se traslada ahora en averiguar para qué intervalos en el eje horizontal se tiene que la segunda coordenada (la "y") de cada punto de la gráfica es positiva, cero o negativa.
Finalizamos la entrada de hoy, recordando que el 18 de marzo pasado se propusieron todos los ejercicios de la página 123. Si no los has hecho aún, te recomiendo que los hagas teniendo en cuenta estas explicaciones de hoy.
No obstante, os dejo un par de vídeos (aquí y aquí) que os pueden ayudar. Están bien explicados, aunque yo no hablaría de "puntos críticos" para referirme a las raíces de un polinomio.
Hoy tenía previsto hablar sobre las inecuaciones polinómicas de grados superiores e inecuaciones racionales y sistemas de inecuaciones, pero al ver vuestras dudas por email consideré oportuno desarrollar un poquito más las inecuaciones cuadráticas.
Tomadlo con calma y trabajad en la medida de vuestras posibilidades, teniendo en cuenta las circunstancias. ¡Mucho ánimo!
(Ah! se me olvidaba), las soluciones de los ejercicios de la página 123 están aquí. No hagas trampa y resuélvelos tú primero antes de mirarlas 😉.
Fe de erratas: en el ejercicio 10d) la solución es [-4,4]. Y en 12d) la zona sombreada no es la correcta, sino la que está bajo el eje horizontal. En la solución de 11f: donde pone -5 debe poner 5 (17/04/2020) (Muchas gracias a los que os habéis percatado de ello👍)
Para anticipar un poco lo que hay en la página 125, piensa en la siguiente idea:
"El conjunto-solución S de un sistema de dos inecuaciones es S_1 \cap S_2, donde S_1 es el conjunto-solución de la primera inecuación y S_2 es el conjunto-solución de la segunda inecuación".
Ya sabéis lo que hay que hacer, ¿no?
Cuidaos mucho y ¡Salud para tod@s!
1ºESO "E" Comienzo de "Estadística y Probabilidad"
¡Hola a tod@s!
Espero que estéis bien.
Antes de comenzar el tema 13 del libro, aquí tenéis las soluciones del ejercicio de ecuaciones de la entrada del día 16 de marzo.
Supongo que ya tendréis hechos los ejercicios de la página 153, como ya os dije en la entrada del día 16.
Me consta que algunos de vosotros ya los tenéis resueltos en vuestros cuadernos.
Por eso incluyo aquí las soluciones de los ejercicios impares y pares hasta el nº 128.
Podéis, por tanto, corregirlos y ver cuáles eran vuestros fallos. Tened en cuenta las recomendaciones que os puse el día 18 sobre cómo debe ser un cuaderno de matemáticas.
Os adjunto otra hoja de repaso de ecuaciones aquí. Son los ejercicios 65 y 66 de la página 130. Las soluciones, en una futura entrada.
No es preciso, por el momento, que me enviéis vuestras respuestas al correo electrónico, pero es importante que no perdáis el hábito de estudio y trabajo en estos tiempos difíciles. Siempre en la medida de vuestras posibilidades, teniendo en cuenta las circunstancias de cada uno.
¡Mucho ánimo para tod@s!
Empezamos ya con la Estadística. Es un tema sencillo, con muchos conceptos y lenguaje nuevo.
En vuestro libro de texto está excepcionalmente bien explicado.
Por el momento, sólo hablaremos de Estadística y dejaremos la Probabilidad para más tarde.
En este curso hacemos una breve introducción a la Estadística descriptiva. Dicho de modo informal, es la parte de las Matemáticas que estudia globalmente grandes conjuntos de datos.
Se pretende estudiar una variable estadística, organizar los resultados de una encuesta y describirlos mediante una tabla de frecuencias y gráficos estadísticos.
En todo estudio estadístico se analiza una variable estadística. Ésta puede ser cualitativa (estado civil, grupo sanguíneo, partido político,...) o cuantitativa, que es cuando los valores son numéricos.
Una variable cuantitativa puede ser a su vez discreta: sólo se dan valores aislados, contables (número de hermanos, número de personas que juegan al fútbol,... o continua: se dan valores medibles (peso de jóvenes varones de 14 años, estatura de mujeres de 18 años, ...)
Los datos se obtienen realizando encuestas (u otros modos de recolección de datos) a la población.
Normalmente aquéllas no se realizan a toda la población sino a una muestra de la misma. Lo único que se pide a una muestra es que sea aleatoria (al azar) y representativa (esto no es una cosa fácil, hay toda una teoría sobre cómo escoger correctamente una muestra y precisa del cálculo de Probabilidades).
Una vez que los datos están recogidos hay que organizarlos en una tabla de frecuencias. Ésta es la clave para realizar una descripción precisa del conjunto. De ahí se obtienen los gráficos estadísticos y los parámetros estadísticos.
Los parámetros estadísticos son unos números especiales que nos describen globalmente el conjunto de datos.
Hay dos clases de parámetros, los centrales: que pretenden describir lo "típico" o el "promedio" del conjunto de datos (Moda, Mediana, y Media, entre otros); y luego están los de dispersión: que pretenden medir cómo se distribuyen o se dispersan los datos respecto a los parámetros centrales (Rango o Recorrido, Varianza, Desviación típica o estándar, ...).
En este curso sólo vamos a trabajar con
Espero que estéis bien.
Antes de comenzar el tema 13 del libro, aquí tenéis las soluciones del ejercicio de ecuaciones de la entrada del día 16 de marzo.
Supongo que ya tendréis hechos los ejercicios de la página 153, como ya os dije en la entrada del día 16.
Me consta que algunos de vosotros ya los tenéis resueltos en vuestros cuadernos.
Por eso incluyo aquí las soluciones de los ejercicios impares y pares hasta el nº 128.
Podéis, por tanto, corregirlos y ver cuáles eran vuestros fallos. Tened en cuenta las recomendaciones que os puse el día 18 sobre cómo debe ser un cuaderno de matemáticas.
Os adjunto otra hoja de repaso de ecuaciones aquí. Son los ejercicios 65 y 66 de la página 130. Las soluciones, en una futura entrada.
No es preciso, por el momento, que me enviéis vuestras respuestas al correo electrónico, pero es importante que no perdáis el hábito de estudio y trabajo en estos tiempos difíciles. Siempre en la medida de vuestras posibilidades, teniendo en cuenta las circunstancias de cada uno.
¡Mucho ánimo para tod@s!
Empezamos ya con la Estadística. Es un tema sencillo, con muchos conceptos y lenguaje nuevo.
En vuestro libro de texto está excepcionalmente bien explicado.
Por el momento, sólo hablaremos de Estadística y dejaremos la Probabilidad para más tarde.
Esquema muy básico del tema 13 |
Se pretende estudiar una variable estadística, organizar los resultados de una encuesta y describirlos mediante una tabla de frecuencias y gráficos estadísticos.
En todo estudio estadístico se analiza una variable estadística. Ésta puede ser cualitativa (estado civil, grupo sanguíneo, partido político,...) o cuantitativa, que es cuando los valores son numéricos.
Una variable cuantitativa puede ser a su vez discreta: sólo se dan valores aislados, contables (número de hermanos, número de personas que juegan al fútbol,... o continua: se dan valores medibles (peso de jóvenes varones de 14 años, estatura de mujeres de 18 años, ...)
Los datos se obtienen realizando encuestas (u otros modos de recolección de datos) a la población.
Normalmente aquéllas no se realizan a toda la población sino a una muestra de la misma. Lo único que se pide a una muestra es que sea aleatoria (al azar) y representativa (esto no es una cosa fácil, hay toda una teoría sobre cómo escoger correctamente una muestra y precisa del cálculo de Probabilidades).
Una vez que los datos están recogidos hay que organizarlos en una tabla de frecuencias. Ésta es la clave para realizar una descripción precisa del conjunto. De ahí se obtienen los gráficos estadísticos y los parámetros estadísticos.
Los parámetros estadísticos son unos números especiales que nos describen globalmente el conjunto de datos.
Hay dos clases de parámetros, los centrales: que pretenden describir lo "típico" o el "promedio" del conjunto de datos (Moda, Mediana, y Media, entre otros); y luego están los de dispersión: que pretenden medir cómo se distribuyen o se dispersan los datos respecto a los parámetros centrales (Rango o Recorrido, Varianza, Desviación típica o estándar, ...).
En este curso sólo vamos a trabajar con
- variables cualitativas y con variables cuantitativas discretas.
- gráficos estadísticos de dos tipos: diagramas de sectores y de barras.
- parámetros centrales: Media, Moda y Mediana. (Sólo éstos)
Para ello, os propongo el siguiente plan de trabajo (con caaaaalma, para los próximos días):
- Leed detalladamente la introducción (páginas 264 y 265, márgenes incluidos😉)
- Haced los ejercicios de la página 265 en vuestro cuaderno. La solución, en una futura entrada.
- Estudiad en detalle la página 266, márgenes incluidos😉. Aquí se explica cómo construir una tabla de frecuencias. Es muy importante. Os incluyo además un vídeo, para que veáis cómo se hace. Es un ejemplo que tenía previsto contaros en clase, en su momento.
- Haced los ejercicios de la página 266 en vuestro cuaderno. La solución, en otra futura entrada.
- Estudiad la página 269 y haced los dos ejercicios que hay. No deberíais tener dificultades si aplicáis lo aprendido anteriormente.
- Ya, por último os estudiáis las definiciones de Media, Moda y Mediana. Éstas se encuentran en las páginas 267 y 268. Leed todo, márgenes incluidos😉.
- Ejercicios de las páginas 267 y 268. En entradas futuras, habrá comentarios y soluciones de los ejercicios propuestos.
Si alguien tiene curiosidad y quiere ir más allá, puede "trastear" con GeoGebra y seguir las indicaciones de las páginas 282 y 283. Obviamente sólo si tienes tiempo y ganas de aprender más.
Cuidaos mucho y
¡Salud para tod@s!
"Aprendemos en casa": un recurso adicional.
¡Hola a tod@s!
Os dejo una noticia sobre un recurso que podría ser de vuestro interés: aquí.
(Actualización: los contenidos no me parecen precisamente de mucha calidad)
¡Salud para tod@s!
Os dejo una noticia sobre un recurso que podría ser de vuestro interés: aquí.
(Actualización: los contenidos no me parecen precisamente de mucha calidad)
¡Salud para tod@s!
2º Bachillerato CCSS (2ºC) Sistemas de ecuaciones lineales: Método de Gauss.
¡Hola a tod@s!
Tal como os conté el día 10 de marzo, empezamos el tema de Sistemas de ecuaciones lineales, en el que introducimos el método de Gauss con notación matricial. Este tema corresponde al tema 1 del libro, del cual yo sólo destacaría los apartados 3, 4 y 5. Es un tema muy fácil.
He incluido un resumen que os puede servir de guía de estudio para este tema. Os recomiendo que sigáis los pasos dados en este resumen usando los ejemplos resueltos del libro. si necesitáis más ejercicios resueltos, los podéis encontrar en mi aula virtual aquí. La contraseña de acceso para invitados es, como siempre, (con mayúsculas) 2BCS1819.
Os llamo la atención sobre el Método de Gauss-Jordan (véase el resumen), que será útil posteriormente para calcular matrices inversas: lo usaremos como método alternativo al de los determinantes para calcularlas.
Os incluyo un vídeo de uno de los mejores creadores de contenidos audiovisuales de matemáticas que tenemos en nuestro país. Está muy bien explicado, sólo que la interpretación geométrica no nos interesa en este curso.
Cuidaos mucho.
Salud para todos.
Tal como os conté el día 10 de marzo, empezamos el tema de Sistemas de ecuaciones lineales, en el que introducimos el método de Gauss con notación matricial. Este tema corresponde al tema 1 del libro, del cual yo sólo destacaría los apartados 3, 4 y 5. Es un tema muy fácil.
He incluido un resumen que os puede servir de guía de estudio para este tema. Os recomiendo que sigáis los pasos dados en este resumen usando los ejemplos resueltos del libro. si necesitáis más ejercicios resueltos, los podéis encontrar en mi aula virtual aquí. La contraseña de acceso para invitados es, como siempre, (con mayúsculas) 2BCS1819.
Os llamo la atención sobre el Método de Gauss-Jordan (véase el resumen), que será útil posteriormente para calcular matrices inversas: lo usaremos como método alternativo al de los determinantes para calcularlas.
Cuidaos mucho.
Salud para todos.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) Un par de problemas más sobre estimación de la media.
¡Hola a tod@s!
Espero que estéis bien. Supongo que ya sabéis que la fecha de la EvaU se ha aplazado hasta nueva orden. En ésta y sucesivas entradas vamos a intentar avanzar algo de lo que nos queda de temario. Esperamos que todo vuelva a la normalidad lo más rápido posible y lo más importante: sanos y salvos.
Por favor, tomad todo lo que sigue como una guía para que podáis avanzar en vuestro trabajo personal.
Lo último que vimos en clase presencial trataba sobre cómo estimar la media poblacional \mu de una variable aleatoria continua X a partir de la media muestral \bar{x} de dicha variable aleatoria X en una muestra aleatoria simple de tamaño n. Esta estimación se realiza con un nivel de confianza (probabilidad) del (1-\alpha)\cdot 100\text{%}. La desviación típica poblacional \sigma casi siempre es conocida en este tipo de problemas.
Como consecuencia del Teorema Central del Límite (TCL), en su versión simplificada (véanse páginas 291, 292 y 293 del libro de texto), tenemos que:
\mu \in \Big[\bar{x}-E,\bar{x}+E \Big] donde E=z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
(la amplitud del intervalo, es decir, su tamaño es 2E)
(véanse páginas 296 y 297 del libro de texto).
Como ya os comenté en clase, es preciso calcular en la EvaU y en todos los ejercicios (lo haréis así a menos que se diga lo contrario) el valor característico o crítico z_{\alpha/2} asociado a cada nivel de confianza (1-\alpha)\cdot 100\text{%}. La conexión entre ambas está dada por la fórmula que dimos en clase:
\phi(z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}
Donde \phi(z) es la función de distribución de la distribución Normal estándar N(0,1), que es lo que está tabulado aquí para valores positivos de z.
Podéis encontrar los detalles en este resumen que os he preparado.
Os recomiendo que estudiéis en detalle la teoría y los ejercicios resueltos de las páginas 296 a la 303.
También os recomiendo que hagáis los ejercicios 29 y 32 de la página 306.
Las soluciones están aquí. Por favor, no te engañes y resuélvelo antes de mirar las soluciones.
Si necesitáis ejercicios adicionales, podéis considerar la autoevaluación de la página 307, cuyas soluciones están al final del libro o también podéis mirar en mi aula virtual aquí. La contraseña de acceso para invitados es, como siempre, (con mayúsculas) 2BCS1819.
Para finalizar, si queréis repasar el bloque de Probabilidad y Estadística podéis hacer la autoevaluación de la página 322. En una entrada futura publicaré las soluciones.
Para cualquier duda, escribidme.
Cuidaos y salud para todos.
Espero que estéis bien. Supongo que ya sabéis que la fecha de la EvaU se ha aplazado hasta nueva orden. En ésta y sucesivas entradas vamos a intentar avanzar algo de lo que nos queda de temario. Esperamos que todo vuelva a la normalidad lo más rápido posible y lo más importante: sanos y salvos.
Por favor, tomad todo lo que sigue como una guía para que podáis avanzar en vuestro trabajo personal.
Lo último que vimos en clase presencial trataba sobre cómo estimar la media poblacional \mu de una variable aleatoria continua X a partir de la media muestral \bar{x} de dicha variable aleatoria X en una muestra aleatoria simple de tamaño n. Esta estimación se realiza con un nivel de confianza (probabilidad) del (1-\alpha)\cdot 100\text{%}. La desviación típica poblacional \sigma casi siempre es conocida en este tipo de problemas.
Como consecuencia del Teorema Central del Límite (TCL), en su versión simplificada (véanse páginas 291, 292 y 293 del libro de texto), tenemos que:
\mu \in \Big[\bar{x}-E,\bar{x}+E \Big] donde E=z_{\alpha/2} \cdot \frac{\sigma}{\sqrt{n}}
(la amplitud del intervalo, es decir, su tamaño es 2E)
(véanse páginas 296 y 297 del libro de texto).
Como ya os comenté en clase, es preciso calcular en la EvaU y en todos los ejercicios (lo haréis así a menos que se diga lo contrario) el valor característico o crítico z_{\alpha/2} asociado a cada nivel de confianza (1-\alpha)\cdot 100\text{%}. La conexión entre ambas está dada por la fórmula que dimos en clase:
\phi(z_{\alpha/2})=1-\frac{\alpha}{2}
Donde \phi(z) es la función de distribución de la distribución Normal estándar N(0,1), que es lo que está tabulado aquí para valores positivos de z.
Podéis encontrar los detalles en este resumen que os he preparado.
Os recomiendo que estudiéis en detalle la teoría y los ejercicios resueltos de las páginas 296 a la 303.
También os recomiendo que hagáis los ejercicios 29 y 32 de la página 306.
Las soluciones están aquí. Por favor, no te engañes y resuélvelo antes de mirar las soluciones.
Si necesitáis ejercicios adicionales, podéis considerar la autoevaluación de la página 307, cuyas soluciones están al final del libro o también podéis mirar en mi aula virtual aquí. La contraseña de acceso para invitados es, como siempre, (con mayúsculas) 2BCS1819.
Para finalizar, si queréis repasar el bloque de Probabilidad y Estadística podéis hacer la autoevaluación de la página 322. En una entrada futura publicaré las soluciones.
Para cualquier duda, escribidme.
Cuidaos y salud para todos.
Dos recursos interactivos interesantes.
¡Hola a tod@s!
Desde el departamento de matemáticas, queremos mencionar dos recursos interactivos interesantes.
El acceso a la base de datos es universal y gratuito.
Desde el departamento de matemáticas, queremos mencionar dos recursos interactivos interesantes.
El acceso a la base de datos es universal y gratuito.
- Para cualquier nivel de ESO y Bachillerato, hacer clic aquí
- Más específicamente para Bachillerato: libro electrónico de matemáticas. Hacer clic aquí
Cuidaos mucho.
Salud para todos.
4ºESO Académicas (Ciencias) "4ºABE+4ºC" Inecuaciones polinómicas de grados 1 y 2, con una incógnita.
¡Hola a tod@s!
El día 10 de marzo pasado dimos unas indicaciones generales sobre qué ejercicios tendríais que hacer durante este periodo excepcional. En ésta y sucesivas entradas vamos a concretar un poco más qué tenéis que estudiar y qué ejercicios debéis hacer. Recordad que cuando volvamos a la normalidad, todo lo que hagamos deberá figurar en vuestros cuadernos y podrán ser revisados posteriormente. Por ello, por vuestro bien, os ruego máxima colaboración: os va el curso en ello.
Bien, en clase ya explicamos cómo se resolvían las inecuaciones polinómicas de grado uno (inecuaciones lineales). Se resuelven reduciendo y transponiendo, como las ecuaciones lineales que estudiásteis en cursos pasados. Recordad también que, al transponer, es aconsejable conseguir que aparezcan coeficientes positivos en el monomio en x. Si seguís este consejo, no tendréis que aplicar esta propiedad "peligrosa" de las desigualdades en \mathbb{R}:
Si a<b y c<0 , entonces c \cdot a>c \cdot b
Teniendo esto en cuenta, os mandé que resolviéseis los ejercicios 5, 6 y 8 de la página 121, algebraicamente ¿recordáis?. Si no lo habéis hecho, hacedlo ya pero... además debéis estudiar también en las páginas 120 y 121 el método gráfico de resolución.
Resolved completamente todos los ejercicios de la página 121, exactamente como digan los enunciados. No es preciso, por el momento, que los entreguéis por correo electrónico.
Por favor, no hagas trampa. No te engañes y resuélvelos antes tú y después miras la solución. Toma como referencia los ejemplos resueltos de esas dos páginas 120 y 121.
Las soluciones las tenéis aquí.
En cuanto a las inecuaciones polinómicas de grado 2 con una incógnita x (inecuaciones cuadráticas, para abreviar) recuerda que siempre es posible conseguir que el coeficiente principal (la "a") del polinomio cuadrático ax^{2}+bx+c sea positivo: simplemente multiplicando toda la inecuación por -1 y usando la propiedad "peligrosa" que mencioné antes.
Por tanto, asumiremos en todo lo que diga aquí que a>0.
En clase dijimos que había tres casos posibles según el signo del discriminante \Delta = b^{2}-4ac
Los tres puntos anteriores se justifican fácilmente comprobando primero (ejercicio) la siguiente identidad algebraica:
ax^{2}+bx+c=a \cdot \Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^{2}-\frac{\Delta}{4a}
Y segundo, basta poner respectivamente en dicha identidad: \Delta=|\Delta|, \Delta=0, \Delta=-|\Delta| (las barras denotan "valor absoluto").
Para finalizar esta entrada, haced en vuestro cuaderno los ejercicios de la página 123. Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada. No es preciso, por el momento, que los entreguéis por correo electrónico.
Cuidaos todos mucho.
El día 10 de marzo pasado dimos unas indicaciones generales sobre qué ejercicios tendríais que hacer durante este periodo excepcional. En ésta y sucesivas entradas vamos a concretar un poco más qué tenéis que estudiar y qué ejercicios debéis hacer. Recordad que cuando volvamos a la normalidad, todo lo que hagamos deberá figurar en vuestros cuadernos y podrán ser revisados posteriormente. Por ello, por vuestro bien, os ruego máxima colaboración: os va el curso en ello.
Bien, en clase ya explicamos cómo se resolvían las inecuaciones polinómicas de grado uno (inecuaciones lineales). Se resuelven reduciendo y transponiendo, como las ecuaciones lineales que estudiásteis en cursos pasados. Recordad también que, al transponer, es aconsejable conseguir que aparezcan coeficientes positivos en el monomio en x. Si seguís este consejo, no tendréis que aplicar esta propiedad "peligrosa" de las desigualdades en \mathbb{R}:
Si a<b y c<0 , entonces c \cdot a>c \cdot b
Teniendo esto en cuenta, os mandé que resolviéseis los ejercicios 5, 6 y 8 de la página 121, algebraicamente ¿recordáis?. Si no lo habéis hecho, hacedlo ya pero... además debéis estudiar también en las páginas 120 y 121 el método gráfico de resolución.
Resolved completamente todos los ejercicios de la página 121, exactamente como digan los enunciados. No es preciso, por el momento, que los entreguéis por correo electrónico.
Por favor, no hagas trampa. No te engañes y resuélvelos antes tú y después miras la solución. Toma como referencia los ejemplos resueltos de esas dos páginas 120 y 121.
Las soluciones las tenéis aquí.
En cuanto a las inecuaciones polinómicas de grado 2 con una incógnita x (inecuaciones cuadráticas, para abreviar) recuerda que siempre es posible conseguir que el coeficiente principal (la "a") del polinomio cuadrático ax^{2}+bx+c sea positivo: simplemente multiplicando toda la inecuación por -1 y usando la propiedad "peligrosa" que mencioné antes.
Por tanto, asumiremos en todo lo que diga aquí que a>0.
En clase dijimos que había tres casos posibles según el signo del discriminante \Delta = b^{2}-4ac
- \Delta positivo. En este caso, el polinomio tiene dos raíces simples en \mathbb{R} distintas. Éste fue el caso que explicamos en clase. El polinomio da valores negativos y positivos y es cero en las raíces. Estudiad en detalle el ejemplo resuelto de la página 122 (tabla de signos, etc). Tendréis que resolverlo analítica ( es decir, algebraicamente) y gráficamente (parábola con forma de U que corta al eje horizontal en dos puntos).
- \Delta=0. En este caso, el polinomio tiene una raíz real doble. El polinomio nunca da valores negativos. Tendréis que resolverlo analítica y gráficamente (parábola con forma de U que corta al eje horizontal en un único punto).
- \Delta negativo. En este caso, el polinomio no tiene raíces reales: es irreducible en \mathbb{R}. El polinomio siempre da valores positivos. Tendréis que resolverlo analítica y gráficamente (parábola con forma de U que no corta al eje horizontal en ningún punto).
Los tres puntos anteriores se justifican fácilmente comprobando primero (ejercicio) la siguiente identidad algebraica:
ax^{2}+bx+c=a \cdot \Big( x+\frac{b}{2a} \Big)^{2}-\frac{\Delta}{4a}
Y segundo, basta poner respectivamente en dicha identidad: \Delta=|\Delta|, \Delta=0, \Delta=-|\Delta| (las barras denotan "valor absoluto").
Para finalizar esta entrada, haced en vuestro cuaderno los ejercicios de la página 123. Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada. No es preciso, por el momento, que los entreguéis por correo electrónico.
Cuidaos todos mucho.
¿Cómo debe ser un cuaderno de matemáticas? ¿Cómo estudiar matemáticas?
Hola a tod@s,
Al ver determinados cuadernos de matemáticas, creo que es conveniente que leáis aquí cómo debe ser un cuaderno de matemáticas. Estos consejos están pensados para todos los cursos de ESO, pero es aplicable también a Bachillerato.
También me permito añadir aquí unos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, gracias a otro compañero mío, profesor de Matemáticas.
Cuidaos todos.
Al ver determinados cuadernos de matemáticas, creo que es conveniente que leáis aquí cómo debe ser un cuaderno de matemáticas. Estos consejos están pensados para todos los cursos de ESO, pero es aplicable también a Bachillerato.
También me permito añadir aquí unos consejos sobre cómo estudiar matemáticas, gracias a otro compañero mío, profesor de Matemáticas.
Cuidaos todos.
2º ESO "C" Sistemas de 2 ecuaciones lineales con 2 incógnitas: métodos algebraicos.
Hola tod@s. Para reanudar el trabajo, os recuerdo dónde nos quedamos. Tomad el libro y leed atentamente los ejemplos resueltos de las páginas 127 y 128. ¿Cómo se lee atentamente un ejemplo resuelto en Matemáticas? Se trata de hacer una primera lectura, tratando de comprender los pasos que se te indican. Después deberías intentar resolver el mismo ejercicio sin mirarlo. El contexto y la teoría del tema ya se explicó en clase.
Recuerda que hay tres métodos algebraicos:
1º Método de sustitución: despeja una incógnita de una de las ecuaciones y sustitúyela en la otra ecuación.
2º Método de igualación: despeja la misma incógnita en ambas ecuaciones y las igualas.
3º Método de reducción:
- Decide qué incógnita deseas eliminar.
- Para esto se debe multiplicar una ecuación completa por un número (que no sea 0) y multiplicar la otra ecuación completa por otro número (que no sea 0).
- Debes escoger esos números de modo que al sumar ambas ecuaciones completas se cancelen (sumen cero) los coeficientes de la incógnita que has escogido para eliminar.
Recuerda que "multiplicar una ecuación completa por un número" significa multiplicar por dicho número en ambos lados de la igualdad, para no "destruir" ésta, es decir:
5x-2y=8 \longrightarrow -3\cdot(5x-2y)=-3 \cdot 8 \longrightarrow -15x+6y=-24
Debéis practicar en vuestro cuaderno. Por tanto, debéis hacer los ejercicios de la página 128.
En la próxima entrada publicaré las soluciones de algunos de ellos. Recordad que cuando volvamos a la normalidad, deberéis tener estos ejercicios hechos en vuestro cuaderno.
No olvidéis tampoco lo que os conté en clase sobre cómo "fabricar" sistemas de ecuaciones con una solución prefijada. Así podéis realizar vuestros propios tests.
Para finalizar la entrada de hoy, os recuerdo que os conviene mucho repasar cómo se resuelven las ecuaciones polinómicas de segundo grado con una incógnita:
ax^{2}+bx+c=0 \quad (a\neq0) \longrightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Tenéis unos ejercicios de repaso aquí (ejercicio 66, página 113). Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada.
Hasta luego y cuidaos mucho.
ax^{2}+bx+c=0 \quad (a\neq0) \longrightarrow x=\frac{-b\pm \sqrt{b^{2}-4ac}}{2a}
Tenéis unos ejercicios de repaso aquí (ejercicio 66, página 113). Las soluciones serán publicadas en una próxima entrada.
Hasta luego y cuidaos mucho.
1ºESO "E" Algunos problemas que nos quedamos sin corregir...
Hola, recordaréis que teníamos pendiente resolver en clase los ejercicios impares primero (desde el 109), y los pares después, de la página 153 del libro. Llegamos a resolver completamente en clase los impares hasta el ejercicio 119.
Pues aquí tenéis las soluciones de los ejercicios 110 al 116.
Recordad que debéis tener hechos todos los ejercicios de esa página (desde el nº 109)--se os dio tiempo en clase para hacerlos--
Además, como repaso aquí tenéis unas cuantas ecuaciones. Aplicad las indicaciones que os expliqué en clase. En la próxima entrada publicaré las soluciones.
Cuidaos y hasta luego.
Pues aquí tenéis las soluciones de los ejercicios 110 al 116.
Recordad que debéis tener hechos todos los ejercicios de esa página (desde el nº 109)--se os dio tiempo en clase para hacerlos--
Además, como repaso aquí tenéis unas cuantas ecuaciones. Aplicad las indicaciones que os expliqué en clase. En la próxima entrada publicaré las soluciones.
Cuidaos y hasta luego.
1ºESO Matemáticas (1ºE) :Indicaciones generales
En los próximos días, los alumno/as de 1ºE deberán trabajar los contenidos de los temas 7 (Proporcionalidad simple directa e inversa. Porcentajes) y tema 13 (Introducción a la Estadística y Probabilidad) del libro de texto de referencia.
El tema 7 estaba ya a punto de ser terminado, y hay que acabarlo definitivamente.
Aunque en la clase del 10 de marzo pasado di indicaciones a los alumnos sobre el tema 8 para trabajar estos días, el departamento decidió --en reunión extraordinaria-- que se impartiese el tema 13 en vez del 8 (Rectas y ángulos), pues estimamos que es un tema fácil de trabajar individualmente con el libro de texto.
No obstante, dada su importancia, repasarán también la resolución de ecuaciones polinómicas de primer grado en una incógnita, de la evaluación pasada (tema 6 del libro).
En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre dichos temas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos, grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
El tema 7 estaba ya a punto de ser terminado, y hay que acabarlo definitivamente.
Aunque en la clase del 10 de marzo pasado di indicaciones a los alumnos sobre el tema 8 para trabajar estos días, el departamento decidió --en reunión extraordinaria-- que se impartiese el tema 13 en vez del 8 (Rectas y ángulos), pues estimamos que es un tema fácil de trabajar individualmente con el libro de texto.
No obstante, dada su importancia, repasarán también la resolución de ecuaciones polinómicas de primer grado en una incógnita, de la evaluación pasada (tema 6 del libro).
En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre dichos temas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos, grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
2ºESO Matemáticas (2ºC) : Indicaciones generales
En los próximos días, los alumno/as de 2ºC deberán trabajar los contenidos de los temas 6 (sistemas de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas) y tema 12 (Introducción a la Estadística) del libro de texto de referencia.
El tema 6 estaba ya iniciado y es preciso terminarlo por completo, dada su importancia en este curso.
El departamento decidió que se impartiese también el tema 12, pues estimamos que es un tema fácil de trabajar individualmente con el libro de texto.
En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre ambos temas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos, grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
El tema 6 estaba ya iniciado y es preciso terminarlo por completo, dada su importancia en este curso.
El departamento decidió que se impartiese también el tema 12, pues estimamos que es un tema fácil de trabajar individualmente con el libro de texto.
En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre ambos temas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos, grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
4º ESO Matemáticas académicas (Ciencias) (4ºA-B-E,4ºC): Indicaciones generales
En los próximos días, los alumno/as de 4ºA-B-E y de 4ºC deberán trabajar los contenidos de los temas 6 (inecuaciones y sistemas de inecuaciones algebraicas con una incógnita) y 7 (Introducción a la Trigonometría) del libro de texto de referencia.
El día 10 de marzo pasado detallé en clase qué ejercicios eran prioritarios para resolver. En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre ellos con indicaciones/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos,grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos y grupo.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
El día 10 de marzo pasado detallé en clase qué ejercicios eran prioritarios para resolver. En la medida de lo posible, iré publicando periódicamente entradas sobre ellos con indicaciones/soluciones para avanzar.
Importante: es obligado que cada estudiante realice en su archivador/cuaderno (con nombre, apellidos,grupo, fecha en cada hoja--también en cuaderno--) un resumen de la teoría y ejemplos del libro.
Eventualmente se podrá pedir algún ejercicio con plazo de entrega improrrogable. Se realizaría en el cuaderno, con nombre y apellidos. Se haría foto y se enviaría al profesor por correo electrónico. Se publicaría posteriormente la solución en el blog para su corrección por el alumno, enviando éste foto de la corrección realizada en su cuaderno.
Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos y grupo.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) : Indicaciones generales
Los profesores que impartimos la asignatura "Matemáticas aplicadas a las Ciencias Sociales II" hemos acordado dar acceso libre al aula virtual de 2ºC aquí. La contraseña de acceso para invitados es (con mayúsculas) 2BCS1819.
En dicho sitio encontrarán apuntes, explicaciones y resúmenes. También encontrarán abundantes ejercicios resueltos para estudiar y practicar. Es muy importante que mantengan un ritmo de trabajo individual constante.
En la medida de lo posible, iré publicando entradas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar en lo poco que nos queda de temario. Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
En beneficio de todos, sigamos fielmente las indicaciones de las autoridades sanitarias.
Esperando un retorno rápido a la normalidad, reciban un cordial saludo.
En dicho sitio encontrarán apuntes, explicaciones y resúmenes. También encontrarán abundantes ejercicios resueltos para estudiar y practicar. Es muy importante que mantengan un ritmo de trabajo individual constante.
En la medida de lo posible, iré publicando entradas con indicaciones/ejercicios/soluciones para avanzar en lo poco que nos queda de temario. Mis estudiantes pueden consultarme dudas puntuales escribiéndome al correo electrónico señalado en la página web del Departamento. En dicho correo electrónico hay que identificarse correctamente: nombre y apellidos.
Rogamos que hagan un uso responsable del correo electrónico.
Sobre la cuestión de la Evaluación, deben estar pendientes de la páginas web del Centro y del Departamento, según como evolucionen los acontecimientos.
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