2º Bachillerato CCSS (2ºC) (18/junio/2020) Repaso EvaU MACS2

APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVADAS

Esencialmente son:

Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica (no suele ser preciso dibujarla); estudio de la derivabilidad de una función a trozos; crecimiento y decrecimiento ("monotonía"), con máximos y mínimos (llamados también "extremos") locales (también llamados "relativos"); concavidad y convexidad (también llamado "curvatura"), con puntos de inflexión; máximos y mínimos globales (llamados también "extremos absolutos") y optimización de funciones.

Hay que señalar que las preguntas de Análisis suelen venir en apartados heterogéneos: a veces se pide una recta tangente, continuidad o derivabilidad, monotonía y una integral; otras veces piden asíntotas, máximos y mínimos locales y un área; y otras combinaciones.

Tenéis que pensar que, probablemente os sea más fácil obtener una puntuación favorable completa resolviendo los problemas de álgebra, probabilidad y estadística. Estos bloques tienen menos variabilidad de tipos de pregunta que en el de Análisis.
Estadísticamente es menos frecuente tener la puntuación completa en las preguntas de Análisis.

En lo que respecta a la derivación de funciones. Recordad que ésta es "lineal" es decir:
$(u+v)'=u'+v'$ y $(k \cdot u)'=k \cdot u'$, donde $u$, $v$ son funciones cualesquiera (que suponemos derivables) y $k$ es una constante real cualquiera (i.e. un número $k \in \mathbb{R}$).

Debéis tener presentes las reglas básicas de derivación del producto y del cociente:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$

La regla de la cadena, es mejor que la apliquéis ya incorporada en la tabla de funciones derivadas inmediatas.
(Véase columna derecha  de la página 161)

RELACIÓN DERIVABILIDAD-CONTINUIDAD

$$f(x) \quad \text{derivable en }  x=a \Longrightarrow f(x)  \quad \text{continua en }  x=a.$$

Así, si una función no es continua en un punto, puedes asegurar que no existe el valor de la derivada en ese punto.
Tened presente también que la recíproca es falsa: si una función es continua en un punto NO puedes asegurar que tenga derivada en ese punto (recordad el ejemplo-modelo de clase: la función valor  absoluto de $f(x)=|x|$  es continua en $x=0$ pero NO tiene derivada en $x=0$ (las derivadas laterales en $x=0$ existen, pero no coinciden).

Conclusión: cuando te pidan estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto, debes exigir previamente que la función sea continua en ese punto. Una vez garantizado esto, calcula la función derivada de cada trozo (con las reglas de derivación y sin incluir la frontera) y exige la igualdad de derivadas laterales en el punto fronterizo.
(Este modo de hacerlo explota el hecho de que las funciones que manejáis habitualmente tienen funciones derivadas que, a su vez también son continuas).
Por supuesto, los puntos donde hay que estudiar la derivabilidad suelen ser las fronteras entre los trozos...

Ejercicios para practicar: los de las páginas 164, 165, 166 y 167.
Te dejo aquí algunas soluciones.

ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Recordad que hay tres tipos de ejercicios. Los modelos están en la página 174. El más común (y más fácil) es el llamado caso "elemental":

Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ (no es preciso dibujarla) en un punto $x=a$.
El punto de tangencia es $(a,f(a))$ y la pendiente de dicha recta viene dada por el valor de la función derivada para $x=a$. La ecuación, en forma punto-pendiente es:
$$y=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$$
Hay que dejar el resultado desarrollado siempre en forma explícita: $y=mx+n.$

En los otros dos casos, los datos son la pendiente o bien un punto de la recta exterior a la gráfica. En ambos casos hay que hallar los puntos de tangencia. La clave está en tener claro que las coordenadas del punto de tangencia tienen que cumplir a la vez las ecuaciones de la función y de la recta.

En efecto, no es difícil reconocer los otros dos tipos:

En el segundo tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que sea paralela a la recta $y=-3x+7$ (p.ej.)..." o simplemente "...cuya pendiente sea $-3$..."

El problema en este caso es cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).

En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente (así, si la recta paralela es $y=-3x+7$, la pendiente es $m= -3$).

La primera coordenada  (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación $f'(c)=m$.

Basta resolver la ecuación $f'(c)=m$ en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).

Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.

La ecuación pedida será $y=mx+n$.

En el tercer tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que pasa por el punto $A(a,b)$..."

Si $f(a)=b$, éste es precisamente el punto de tangencia porque cumple la ecuación que define la función $y=f(x)$, es decir, está en la gráfica. Éste sería el primer tipo de problema.

Pero si $f(a) \neq b$, entonces el punto A no es de la gráfica: es externo a ésta.

El problema en este caso es, otra vez, cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).

En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que la recta pedida pasa por los puntos $T(c,f(c))$ y $A(a,b)$ cuya pendiente vimos en 3º de ESO  que se calculaba así:
$$m=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación:
$$f'(c)=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
Basta resolver esta ecuación en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).

Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda hallar la pendiente $m$ con $(f(c)-b)/(c-a)$ ó $f'(c)$  y exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.


La ecuación pedida será $y=mx+n.$

CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES (extremos locales)
Suponemos en lo que sigue que las funciones son derivables.
El resultado básico es que si la derivada de la función es positiva en un punto, entonces la función es creciente en ese punto. Y si es negativa, entonces es decreciente ahí. (Véase página 176 y 177)
$$f'(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es creciente en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es decreciente en } x=a$$
Si $f'(a)=0$, es decir, si $x=a$ es un punto crítico (ojo: el libro los llama "puntos singulares". Es un error) de $f(x)$, sólo podemos asegurar que la recta tangente ahí es paralela al eje horizontal.

La naturaleza del punto crítico suele verse fácilmente estudiando el signo de $f'(x)$ en las "proximidades" de $x=a$. Recordad:
$$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow  f'(a)=0$$
(la recíproca no es cierta, ejemplo: $y=x^{3}$, es creciente en toda la recta real y no tiene extremos locales)

Dos consejos:
1) Para estudiar el signo de $f'(x)$: es conveniente factorizar (simplificar) al máximo la expresión de $f'(x)$ y debes tener en cuenta los puntos singulares (los que no son del Dominio) de la función $f(x)$.
Otra opción es confiar ciegamente en tu calculadora...ya hablamos de esto en clase ¿recordáis?

2) Si tu objetivo es hallar los posibles máximos y mínimos locales, debes poner:
 $x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow  f'(a)=0$ o simplemente
 "condición necesaria de extremo local: $f'(x)=0$, hallemos los puntos críticos".
Ya sólo quedará estudiar su naturaleza mirando el signo de la función derivada en las "proximidades" de cada punto crítico.
Recuerda: puede pasar perfectamente que un punto crítico no sea máximo ni mínimo local.

Como pongáis "$f'(x)=0 \longrightarrow \text{máximos, mínimos relativos}$" os fulminarán aunque lo demás parezca estar bien ...

CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN
Aquí voy a ser demasiado esquemático y algo exagerado: la clave está en el signo de la función derivada de la función derivada: la derivada segunda $f''(x)$:
$$f''(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U invertida en } x=a$$
(piensa en una función cuadrática y su gráfica, si eso te ayuda)
La nomenclatura (cóncava, convexa) es diferente en los libros de bachillerato y los universitarios.
En los puntos de inflexión tiene lugar un cambio de curvatura.  Para propósitos prácticos, de haber un punto de inflexión, los tienes que buscar entre las soluciones de la ecuación $f''(x)=0$. Se aplican los mismos comentarios y advertencias respecto a los extremos locales. Para decidir si un cierto punto es  de inflexión, estudia el signo de la segunda derivada en las "proximidades" de ese punto. Si hay cambio de signo, sí lo será. (Véase página 178 y 179)

No perdáis de vista los ejercicios de determinación de coeficientes de una función que cumple ciertas condiciones dadas. Hicimos alguno en clase y son cada vez más frecuentes en EvaU. Mirad los ejercicios resueltos del final del tema 7.

MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES

En clase argumentamos que una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo global y un mínimo global en ese intervalo. Si además es derivable en dicho intervalo, los máximos y mínimos absolutos se encontrarán entre los puntos críticos que haya dentro del intervalo y los extremos de dicho intervalo.
Éste es el caso más común (y el más sencillo). Ver página 180.
La mayor parte de las veces, la función cuyos máximo o mínimo absolutos se piden calcular viene ya dada o se construye a partir del enunciado del problema. (Ver ejemplos de clase o de los exámenes resueltos)

OPTIMIZACIÓN

Habitualmente se trata de hallar el mayor (o menor ) valor posible de una función que depende de dos variables. Estas dos variables siempre están relacionadas mediante una ecuación ("la ligadura"). Si despejas una variable en función de la otra y la sustituyes en la función que deseas optimizar, el problema se reduce a un problema como los del apartado anterior.
Habitualmente la variable que escoges como independiente suele adoptar valores dentro de un intervalo abierto o cerrado. (Ver los ejemplos y ejercicios de la página 181).

Para practicar ejercicios relacionados con los cinco apartados anteriores, son recomendables los de las páginas 182, 183, 184, 185, 186 y 187.
Aquí te dejo algunas soluciones.

(GRÁFICAS) ASÍNTOTAS DE FUNCIONES

Habitualmente no se pide un estudio detallado de las gráficas de funciones, sino más bien un estudio concreto: crecimiento, concavidad, y más frecuentemente se piden las ecuaciones de las rectas asíntotas.
Es importante no olvidar las familias básicas de funciones (lineal, cuadrática, racionales, exponencial y logarítmica) que estudiásteis en 1º de bachillerato.

Si os piden dibujar una gráfica, habitualmente será la de una función polinómica o la de una función racional. Rara vez piden exponenciales y logarítmicas. Pero no es imposible.
Para dibujar la gráfica de una función a trozos, habitualmente los trozos serán funciones de las  básicas.

Para concretar, recordad que la recta horizontal $y=k$ será asíntota horizontal si el límite en infinito vale $k$. No obstante, echad un vistazo al diagrama de flujo de la página 199.

La recta vertical $x=a$ será asíntota vertical si alguno de los límites puntuales laterales cuando $x \rightarrow a$, tiende a infinito.
Los candidatos obvios a ser asíntotas verticales suelen ser los valores de $x$ que anulan algún denominador, en las funciones que manejáis habitualmente. Pero, cuidado, porque los límites hay que calcularlos. Los candidatos, a veces, son fallidos.

Una recta oblicua $y=mx+n$ se dice asíntota oblicua si $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0$ y $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-mx)=n.$

Advertencia: la Comisión coordinadora de Matemáticas nos ha dicho que es obligatorio calcular correcta y detalladamente los límites, aunque haya ciertos "atajos" (como que en funciones racionales tales que el grado del numerador sea uno más que el del denominador, la ecuación de la asíntota oblicua  es $y=$ cociente de la división). Y ... no olvidéis escribir la ecuación de la asíntota, muchos calculáis correctamente los límites pero no ponéis la conclusión.

Ejercicios para practicar, (a vuestro criterio: los de las páginas 208, 209, 210, 211, 212 y 213. Aconsejo prestar más atención a las asíntotas y al crecimiento. )Aquí os dejo algunas soluciones. (Dos avisos: en estos ejercicios se aplica todo lo aprendido en los apartados anteriores. Fe de erratas: donde dice "puntos singulares" debe decir "puntos críticos").

INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA y algunas aplicaciones.

Dada una función continua $f(x)$, llamamos Primitiva de $f(x)$ a una función $F(x)$ cuya función derivada es $f(x)$, es decir, $F'(x)=f(x)$. Hay infinitas primitivas para la misma función $f(x)$; y se diferencian entre sí por una constante $C$, pues $(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x).$

La integración como "operación" es la operación inversa de la derivación y
la expresión $$\int f(x) \,dx=F(x)+C$$ se llama integral indefinida.
Al igual que la derivación, la integración es una "operación" lineal, es decir:
$$\int (f(x)+g(x)) \,dx=\int f(x) \,dx+\int g(x) \,dx$$
$$\int (k \cdot f(x)) \,dx=k \cdot \int f(x) \,dx$$
($k \in \mathbb{R}$ es una constante)

La tabla de integrales indefinidas inmediatas que más os interesan la tenéis (con la regla de la cadena incorporada) en la columna derecha de la página 222. (Las trigonométricas casi nunca se piden)

Repasad el enunciado del TFC en la página 227 sobre la función área $\int_{a}^{x} f(t) \,dt$ y sobre todo la Regla de Barrow para calcular integrales definidas de funciones continuas:

$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx=\Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$

Muy importante.

(Aviso: no hay ninguna barra de valor absoluto en la parte derecha de la igualdad anterior. Cuidado.)

Aplicaciones (en EvaU)

(En lo que sigue, asumimos que las funciones son continuas.)

1) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de $y=f(x)$, el eje horizontal (eje $X$) y las  abscisas $x=a$ y $x=b$ (que son rectas verticales). Pongamos $a<b$. (Véase página 229)

Procedimiento: Resolver la ecuación $f(x)=0$ y seleccionar las soluciones que estén entre $a$ y $b$.
Estas soluciones, ordenadas de menor a mayor,  determinan una partición del intervalo $[a,b]$ en intervalos más pequeños de distintos tamaños. Por ejemplo, si son tres soluciones (puntos) entre $x=a$ y $x=b$, habrá cuatro regiones: $[a,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3]$ y $ [x_3,b]$.

Si hay $m$ soluciones, habrá $1+m$ regiones.

Tendríamos que calcular una primitiva $F(x)$ y aplicar la regla de Barrow en cada región.

Así, en el caso de $m=3$ tenemos que el área (geométrica) pedida será la suma de los valores absolutos de las cuatro integrales definidas siguientes:
$$I_{1} = \int_{a}^{x_{1}} f(x) \,dx,\quad
I_{2} =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \,dx,\quad
I_{3} =\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \,dx,\quad
I_{4} =\int_{x_{3}}^{b} f(x) \,dx.$$
Por tanto, el área es $A= |I_{1}|+|I_{2}|+|I_{3}|+|I_{4}|.$ (en unidades cuadradas)
(La mayor parte de las veces, ni hace falta hacer la gráfica)

Observación importante: A veces se pide el área comprendida entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje horizontal (eje $X$) SIN hacer referencia a $x=a$ ni a $x=b$.

Procedimiento: En este caso, al resolver $f(x)=0$ se toman todas las regiones de tamaño finito que haya con sus soluciones.Nunca se tomarán semirrectas como regiones. Por ejemplo, tomando el caso de $3$ soluciones, ordenadas de menor a mayor,  tomaríamos los intervalos  $[x_1,x_2]$ y $[x_2,x_3]$

2) Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de DOS funciones $y=g(x)$ y $y=h(x)$ (Véase página 231)

Procedimiento: Escribimos una función diferencia $f(x)=g(x)-h(x)$ y resolvemos el problema equivalente de calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función diferencia y el eje horizontal (eje $X$). Se resuelve usando el procedimiento del apartado 1) anterior. (Ver observación)


Para practicar: ejercicios  de las páginas 232, 233, 234, 235, 236 y 237.
Os dejo algunas soluciones aquí.