Con la entrada de hoy finalizamos, por fin, el tema de inecuaciones y sistemas de inecuaciones con una incógnita. La próxima entrada tratará sobre Trigonometría.
Antes de hablar del tema de hoy, dos cosas. La primera, las soluciones de los ejercicios de la página 124, propuestos en la entrada anterior. La segunda, voy a indicar brevemente la solución del ejercicio 14f) de dicha página. Os advertí que había una errata en el enunciado. La solución presentada en el enlace anterior es la del enunciado sin la errata corregida. Algunos de vosotros me habéis pedido por email la corrección de este ejercicio en particular, allá va:
Ejercicio: Resolver la inecuación polinómica $-5x+6<-x^{3}+2x^{2}.$
Solución: Escribamos la inecuación en su forma normal, de modo que el coeficiente principal del polinomio sea positivo,
$$x^{3}-2x^{2}-5x+6<0.$$
Nos preguntan por los números reales que habría que poner en $x$ para que los valores numéricos del polinomio $P(x)=x^{3}-2x^{2}-5x+6$ sean negativos...
El polinomio (de grado 3) tiene coeficientes enteros, por tanto si tiene alguna raíz entera, ésta será divisor del término independiente $6$ (criterio de la raíz entera...¿recuerdas?). Usando la regla de Ruffini encontramos que el polinomio tiene las tres raíces simples $-2, 1$ y $3$. Entonces $$x^{3}-2x^{2}-5x+6=(x+2)(x-1)(x-3).$$
Las tres raíces dividen a la recta real $\mathbb{R}$ en cuatro regiones, en cada una de las cuales, cada factor del polinomio tiene un signo constante. Por tanto, realizando la tabla de signos apropiada (ver ejemplos) se llega a que
$$x^{3}-2x^{2}-5x+6<0 \Longleftrightarrow (x+2)(x-1)(x-3)<0 \Longleftrightarrow x\in (-\infty,-2)\cup(1,3).$$
Fin del ejercicio.
Pasamos ya al tema de hoy. Llamamos inecuación racional (con una incógnita) a aquella inecuación reducible a una de estas cuatro formas, llamadas normales:
$$\frac{P(x)}{Q(x)}>0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)}<0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)}\geq 0, \quad \frac{P(x)}{Q(x)} \leq 0,$$ donde $P(x)$ y $Q(x)$ son polinomios en $x$.
- Lo primero de todo, y esto es muy importante, hay que asegurarse que los coeficientes principales de ambos polinomios sean positivos (los dos). Si sólo uno de ellos lo tuviese negativo, cambiaríamos todos los signos de dicho polinomio (¡sin tocar el otro!) e invertiríamos el símbolo de la desigualdad. Si ambos polinomios tienen coeficientes principales negativos, bastará con cambiar todos los signos de ambos polinomios SIN invertir el símbolo de la desigualdad.
- Lo segundo, hay que descartar desde el principio las raíces reales del denominador $Q(x)$. Es obvio, porque es imposible dividir entre cero. Así que, en el resultado final, estas raíces no pueden formar parte del conjunto-solución. Nunca. Pero esto no significa que no las tengamos en cuenta en los puntos siguientes: habrá que representarlas en la recta.
- Lo tercero, factorizar completamente ambos polinomios $P(x)$ y $Q(x)$ ,y simplificar al máximo la fracción algebraica $\frac{P(x)}{Q(x)}$, de modo que $MCD(P(x),Q(x))=1$. Es decir, que $P(x)$ y $Q(x)$ no tengan factores irreducibles comunes.
- Representamos gráficamente en la misma recta real $\mathbb{R}$ todas las raíces que hay entre el numerador y el denominador (las de éste último sabemos que finalmente las descartaremos).
- Si hay $n$ raíces reales en total, habrá $n+1$ regiones de la recta real $\mathbb{R}$, en cada una de las cuales, cada factor que haya entre el numerador y el denominador tendrá signo constante.
- Se construye una tabla de signos con las regiones anteriores y todos los factores presentes, con su multiplicidad, y se aplica la regla de los signos teniendo en cuenta lo que dijimos en la entrada anterior: (os lo recuerdo)
2)
2a) Aquellos factores del tipo $(x-a)^{\text{par}}$ no influyen en el signo: son siempre positivos.
2b) Aquellos factores del tipo $(x-a)^{\text{impar}}$, se comportan igual que si el exponente fuese $1$.
- Finalmente, si las desigualdades fuesen no estrictas ($\geq$, $\leq$) habría que añadir al conjunto-solución de la inecuación las raíces del numerador $P(x)$, siempre que no hayan sido descartadas previamente por ser raíz común del denominador $Q(x).$
Supongamos que alguien malévolo te pide resolver la monstruosa inecuación racional:
$$\frac{-x^6+6x^5-13x^4+14x^3-12x^2+8x}{5x^3-5x^2-40x+60} \geq 0$$
El coeficiente principal del numerador es negativo ($-1$) y el del denominador es positivo ($5$), por tanto cambiamos de signo todo el numerador, manteniendo intacto el denominador, e invertimos el símbolo de la desigualdad. Escribimos la inecuación equivalente
$$\frac{x^6-6x^5+13x^4-14x^3+12x^2-8x}{5x^3-5x^2-40x+60} \leq 0.$$
Buscamos las raíces reales del denominador y factorizamos completamente, usando el criterio de la raíz entera, la regla de Ruffini y la fórmula de la ecuación de segundo grado. Y el resultado es:
$$5x^3-5x^2-40x+60=5(x-2)^2(x+3).$$
Este resultado nos indica dos cosas. Primero, que $x=2$ y $x=-3$ deben ser excluídas siempre de la solución final, pues anulan el denominador de la inecuación y es imposible dividir entre cero. La segunda cosa es que el exponente par de $(x-2)^2$ indica que el signo de $(x-2)^2$ es irrelevante, pues es siempre positivo para cualquier valor de $x\neq 2$; por tanto actúa como si no estuviese. El factor $5$, como es positivo (siempre lo va a ser, porque es coeficiente principal y nos hemos asegurado previamente de que sea positivo) también es irrelevante.
A continuación buscamos las raíces reales del numerador, de la misma manera que hemos hecho en el denominador, y el resultado es:
$$x^6-6x^5+13x^4-14x^3+12x^2-8x=x(x-2)^3(x^2+1).$$
Este resultado también nos indica dos cosas. Primero, que $x^2+1$, al ser un polinomio de segundo grado irreducible (sin raíces reales) da siempre resultados positivos para cualquier valor que des a $x$ (una suma de números positivos nunca da negativo ni $0$); por tanto, actúa como si no estuviese.
Segundo, el exponente impar de $(x-2)^3$ indica que el signo de $(x-2)^3$ es el mismo que el de $x-2$.
En resumen, resolver la inecuación racional propuesta es equivalente a resolver la inecuación:
$$\frac{x(x-2)^3(x^2+1)}{5(x-2)^2(x+3)} \leq 0$$la cual, con las observaciones anteriores se reduce a resolver:
$$\frac{x(x-2)}{x+3} \leq 0 \qquad \text{con} \quad x\neq 2 \quad \text{y} \quad x\neq -3.$$
Sólo queda hacer la tabla de signos con las raíces $-3,0,2$ y los factores $x+3, x, x-2$ y el resultado final es:$$x \in (-\infty, -3)\cup[0,2).$$
El numerador se anula para $x=0$ y para $x=2$, pero ésta ya había sido excluída desde el principio.
Fin del ejemplo.
Observación: La solución anterior también es la solución de la inecuación:
$$\frac{-x^6+6x^5-13x^4+14x^3-12x^2+8x}{-5x^3+5x^2+40x-60} \leq 0.$$
Las inecuaciones racionales de este curso no son especialmente difíciles, la mayoría de las veces no serán como en el ejemplo anterior: serán fracciones algebraicas irreducibles y/o estarán ya factorizadas, con raíces enteras y/o sin factores irreducibles de segundo grado. Pero las indicaciones dadas arriba, son absolutamente generales y os servirán también para el próximo curso. Parece complicado, pero no lo es.
Podéis hacer los ejercicios de la página 126. Mirad el ejemplo resuelto y repetidlo con los pasos de arriba. Las soluciones, aquí. (No hagáis trampa, hacedlos primero y después miráis...)
Cuidaos mucho, hasta la próxima entrada: Trigonometría.
