2º Bachillerato CCSS (2ºC) : Álgebra de matrices IV: Matriz inversa de una matriz cuadrada.

Hola a tod@s.
Hoy vamos a tratar uno de los puntos importantes del tema 2 del libro: la matriz inversa de una matriz cuadrada.
Mientras no digamos lo contrario, en lo que sigue trabajaremos siempre con matrices cuadradas. Los ejemplos y ejercicios serán mayoritariamente de matrices de orden 2 o 3, aunque lo que vamos a contar vale también para órdenes superiores.

Llamamos matriz unidad (o identidad) de orden $n$ a la matriz cuadrada diagonal $I_n$ compuesta por " $n$ unos" en la diagonal principal y "ceros" en los demás elementos:

$$I_{ij}=0  \quad \text{si} \quad i\neq j \qquad  I_{ij}=1  \quad \text{si} \quad i= j$$
$$I_{2}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0  \\
0 & 1  \\
\end{matrix}
\right)   \qquad  I_{3}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)  \qquad  I_{4}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)$$
La matriz unidad tiene la particularidad de jugar el papel del "uno" en la multiplicación de matrices cuadradas, es decir $AI=IA=A.$
Dada una matriz cuadrada $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ se dice que es invertible y que su matriz inversa es $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ si
$$I=AB=BA.$$
A la matriz inversa de $A$, se la denota con la expresión $A^{-1}.$
Importante: La inversa de $A$ puede no existir, pero si existe es única para esa $A.$

¿CÓMO CALCULAR $A^{-1}$?

En el tema de determinantes (tema 3 del libro) veremos un método muy práctico, pero en MACSII el método de Gauss-Jordan ha sido (y sigue siendo)  muchos años el método "oficial",  y el de determinantes es el método "oficial" en MATEMÁTICAS II. Actualmente se aceptan ambos modos de calcular $A^{-1}$ en MACSII. 

Para hallar la matriz inversa de $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ uno puede tratar de resolver  la ecuación matricial $AX=I$ donde $X$ es una matriz $n\times n$ cuyos elementos son incógnitas (¡un total de $n^2$ incógnitas!). Esto conduce a $n$ sistemas de ecuaciones, todos ellos con la misma matriz de coeficientes e igualados a cada una de las columnas de $I$.

Con ello se deduce que el cálculo de $A^{-1}$ equivale a aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(A|I).$$
Si existe la inversa (y sólo en ese caso) el final del algoritmo será la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(I|A^{-1}).$$
Véase ejemplo resuelto en la página 3 del segundo resumen.
También podéis ver el siguiente vídeo, para que veáis cómo se hace. Otro ejemplo interesante aquí.

Si recordamos el mecanismo del algoritmo de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius, podemos dar el criterio de existencia de $A^{-1}$:

$$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad \text{ es invertible} \quad \Longleftrightarrow  \quad rg(A)=n.$$
En el tema 3 de Determinantes veremos que esto es equivalente a decir que el determinante $|A|$ de la matriz cuadrada $A$ no es cero, es decir,  $$rg(A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad |A|\neq 0.$$
A las matrices invertibles se las llama también regulares, y las que no, singulares. Revisitaremos en la siguiente entrada cómo se calcula el rango de una matriz cualquiera, con o sin parámetro libre.

Algunas propiedades de la inversa son:
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}, \qquad (A^{-1})^{-1}=A.$$
Tenéis más ejemplos resueltos (y ejercicios propuestos) en las páginas 62, 63, 65, 72 y 73. 
Las soluciones están aquí.

Si te preguntas, con razón, para qué sirve hallar $A^{-1}$ te diré que, de momento, nos sirve para resolver ecuaciones matriciales:
$$AX=C \Longrightarrow X=A^{-1}C$$
y en particular e importante, para sistemas compatibles determinados se cumple: $ A\vec{x}=\vec{b} \Longrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}.$

Otra aplicación útil y muy frecuente de $A^{-1}$ es la de despejar una matriz-incógnita $X$ en ecuaciones matriciales. Aquí tienes tres vídeos bien explicados sobre esto: Vídeo1, Vídeo2 y Vídeo3.

A veces, se ha planteado en EvaU una resolución de un sistema de ecuaciones matriciales, por ejemplo, el ejercicio 6 de la página 65 del libro, o también podéis mirar este otro ejemplo.

Para finalizar la entrada de hoy, quisiera mencionar (a estas alturas ya puedo decirlo) un tipo de ejercicios que a veces se ponen en los exámenes y en EvaU: ejercicios en los que hay que calcular alguna matriz usando al máximo las propiedades del álgebra de matrices, procurando no hacer cálculos explícitos y detallados con los términos de las matrices. Hay ejemplos (resueltos y propuestos) de ello en las páginas 71, 77, 78 y 79. Podéis también mirar estos ejemplos:
ejemplo1, ejemplo2, ejemplo3, ejemplo4, ejemplo5, ejemplo6, ejemplo7 y ejemplo8.

Cuidaos mucho.