Empezamos el tema 2 del libro de texto: Álgebra de matrices.
Antes que nada, aquí van las soluciones a los ejercicios propuestos en la entrada del 27 de marzo pasado.
Ya sabemos que una matriz es simplemente una tabla de números, y las hemos usado como modo abreviado de escribir sistemas de $m$ ecuaciones con $n$ incógnitas.
Pero las matrices también se han estudiado como entidad propia en Matemáticas para otras cosas. Por ejemplo, para establecer relaciones entre conjuntos:
Fíjate en el ejemplo que hay en la página 53:
En un país $B$ hay cuatro aeropuertos internacionales $B_1, B_2, B_3$ y $B_4$. En otro país $C$ hay sólo dos aeropuertos nacionales $C_1$ y $C_2$. En un día determinado, del aeropuerto $B_1$ salen tres vuelos con destino al aeropuerto $C_1$ y dos vuelos al $C_2$. Del aeropuerto $B_2$ y del $B_2$ sale un vuelo de cada uno con destino único al aeropuerto $C_1$. Y del $B_4$ salen sólo dos vuelos a $C_2$.
Esto se puede expresar brevemente en forma de correspondencia entre conjuntos (se puede ver como un tipo especial de grafo), en forma de tabla, o también de ¡matriz!, donde el elemento que está en la fila $i$ y en la columna $j$ expresa cuántos vuelos hay para ir de $B_i$ a $C_j$.
$$A=\left(
\begin{matrix}
3 & 2\\
1 & 0\\
1 & 0\\
0 & 2
\end{matrix}
\right)$$ Es una matriz de dimensiones $4\times2$, es decir, de $4$ filas y $2$ columnas. Es una matriz rectangular $4\times2$.
La notación habitual es llamar $a_{ij}$ al elemento de la matriz $A$ que está en la fila $i$ y en la columna $j$. Así, en la matriz rectangular de arriba tenemos que $a_{32}=0$, $a_{11}=3$ y $a_{42}=2$, por ejemplo.
Dos matrices $A$ y $B$ se dicen iguales cuando tienen las mismas dimensiones y además coinciden elemento a elemento.
Así , las matrices $A=\left(
\begin{matrix}
3 & 2\\
1 & 0\\
1 & 0\\
0 & 2
\end{matrix}
\right)$ y $B=\left(
\begin{matrix}
3 & 2\\
1 & 0\\
1 & 0\\
\end{matrix}
\right)$ no pueden ser iguales porque no tienen las mismas dimensiones. $A$ es una matriz $4\times2$ y $B$ es una matriz $3\times2$.
En cambio, las matrices $C=\left(
\begin{matrix}
-3 & 2\\
1 & 0\\
0 & x
\end{matrix}
\right)$ y $D=\left(
\begin{matrix}
-3 & 2\\
1 & 0\\
0 & 5
\end{matrix}
\right)$ son iguales si y sólo si $x=5.$
Dada una matriz $A$ de dimensiones $m \times n$, su matriz transpuesta $A^{t}$ es la matriz $n \times m$ obtenida intercambiando filas por columnas:
$ A=\left(
\begin{matrix}
3 & 2\\
1 & 0\\
1 & 0\\
0 & 2
\end{matrix}
\right) \Longrightarrow A^{t}=\left(
\begin{matrix}
3 & 1 & 1 & 0\\
2 & 0 & 0 & 2\\
\end{matrix}
\right). $ Obviamente $(A^{t})^{t}=A$.
Llamamos matriz cuadrada de orden $n$ a una matriz con $n$ filas y $n$ columnas.
Una matriz $A$ se dice simétrica si y sólo si $A^{t}=A$ (necesariamente debe ser cuadrada).
En toda matriz cuadrada, los elementos $a_{ii}$ forman la diagonal principal.
Ejemplos de matrices especiales:
La matriz nula: aquella cuyos elementos valen todos $0$.
$$A=\left(
\begin{matrix}
3 & 0 & 0 & 0\\
0 & -5 & 0 & 0\\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0\\
0 & 0 & 0 & 2\\
\end{matrix}
\right) $$ es una matriz diagonal.
$$A=\left(
\begin{matrix}
3 & 1 & 0& -1\\
0 & -5 & 3 & 5\\
0 & 0 & \sqrt{3} & 0\\
0 & 0 & 0 & 2\\
\end{matrix}
\right) $$ es una matriz triangular o escalonada.
$$I_{4}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right) $$ es la matriz unidad (de orden 4).
Las matrices de dimensiones $n\times 1$ se llaman vectores columna (de orden $n$) y las de dimensiones $1\times n$ se llaman vectores fila (de orden $n$).
Finalmente, los elementos $a_{ij} \in \mathbb{R}$, es decir, son números reales y denotamos con
$\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ el conjunto de todas las matrices rectangulares $m\times n$ reales. Cuando $n=m$, tenemos el conjunto $\mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ de todas las matrices cuadradas reales de orden $n$.
Os dejo aquí el segundo resumen del tema, para futuras referencias (La parte más relevante para vosotros son las tres primeras páginas de dicho resumen).
Podéis hacer los ejercicios de la página 55. Aquí te pongo sus soluciones. No hagas trampa y resuélvelos antes de mirar.
Hasta la próxima entrada.
Cuidaos.
