Es muy importante que sigáis repasando el tema de álgebra de la 2ª evaluación. Aquí están las soluciones de la hoja de ecuaciones de la anterior entrada.
Aquí te pongo la nueva hoja de ecuaciones. Recuerda que, en cualquier momento, te puedo pedir que me envíes una foto de alguna de las ecuaciones resueltas por ti...debes estar pendiente de ello.
En cuanto a los ejercicios propuestos de Estadística de la entrada anterior, he encontrado unos vídeos que pueden ayudarte a resolverlos, no está de más verlos (aunque sólo sea para repasar...)
- Para repasar el lenguaje de la Estadística puedes ver este Video1. (La explicación de los vídeos es casi exactamente como la haría yo en clase, por eso los he escogido entre los muchísimos vídeos que hay. Éstos me parecen especialmente claros)
- La frecuencia relativa será relevante en Probabilidad y la frecuencia absoluta acumulada será útil para hallar la Mediana. Quizá también te ayude este Video2 (En el vídeo, cuando pone "datos" debería decir "resultados", pues éstos son necesariamente distintos y los datos sí pueden estar repetidos)
- Para que veas unos cuantos gráficos estadísticos y cómo se construyen, puedes ver este Vídeo3.
- Los que sí son muy importantes son los parámetros centrales: Video4.
La Media $\overline{x}$ de $x$ es $$\overline{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+...+x_n \cdot f_n}{N}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot f_i}{N}.$$
El símbolo "$\sum$" se llama "sumatorio" (es una letra griega, la sigma mayúscula, equivalente a nuestra "S" latina) y sirve para abreviar sumas largas: $$\sum_{i=1}^{n} f_i \equiv f_1+f_2+f_3+...+f_n.$$
Obviamente, se cumple que el número total de datos es la suma de todas las frecuencias absolutas de los $n$ resultados: $N=\sum_{i=1}^{n} f_i$)
Se encuentra experimentalmente que, cuando el número $N$ de lanzamientos se hace cada vez más grande, la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$ tiende a "estabilizarse" en torno a un número fijo: su probabilidad $P(A)$. Ésta es la llamada definición "frecuentista" de Probabilidad de un suceso, de gran importancia histórica.
El símbolo "$\sum$" se llama "sumatorio" (es una letra griega, la sigma mayúscula, equivalente a nuestra "S" latina) y sirve para abreviar sumas largas: $$\sum_{i=1}^{n} f_i \equiv f_1+f_2+f_3+...+f_n.$$
Obviamente, se cumple que el número total de datos es la suma de todas las frecuencias absolutas de los $n$ resultados: $N=\sum_{i=1}^{n} f_i$)
En este punto, si no has hecho los ejercicios de estadística de la entrada anterior, ahora es el momento de hacerlos. Las soluciones, aquí.
Empezamos ya con el tema principal de esta entrada.
DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD.
Lo primero de todo, es definir qué es un experimento aleatorio (del latín aleatorius, derivado de alea que significa "juego de azar", "azar", "suerte").
Llamamos experimento aleatorio a aquel experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado va a obtenerse. Lo contrario sería un experimento determinista.
Ejemplo: si nos preguntamos por el tiempo que tarda en caer al suelo desde una ventana una moneda es un experimento determinista, pero si nos preguntamos si dará cruz, es aleatorio. Las leyes de la Física nos permiten predecir cuánto tardará esa moneda en llegar al suelo, pero no nos dirá si se obtiene cara $1$ o cruz $0$.
Llamamos Espacio muestral $E$ de un experimento aleatorio al conjunto de resultados posibles al realizar el experimento.
Un suceso (o evento) $A$ es cualquier subconjunto de $E$, es decir, un conjunto más pequeño dentro de $E$ (se denota así $A\subseteq E$). A los objetos que forman el espacio muestral, se les llama sucesos elementales.
Ejemplo: si el experimento aleatorio consiste en arrojar un dado cúbico equilibrado (sin trampa, que no esté "cargado"), el espacio muestral es $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, y el suceso $A=\{5\}$: "obtener un $5$" es un suceso elemental y es un subconjunto de $E$ puesto que $\{5\}$ "está dentro" de $E$.
El suceso $B=\{2, 4, 6\}$: "obtener un número par" no es elemental sino compuesto, y es un subconjunto de $E$. El suceso se habrá cumplido si al arrojar el dado, el resultado obtenido es un $2$ o un $4$ o un $6$, es decir, alguno de ellos. Es claro que es más probable que se cumpla el suceso $B$ que el $A$, porque $B$ es un conjunto "más grande" que $A$...
Un Espacio muestral de un experimento aleatorio se dice equiprobable si cualquier suceso elemental que lo forma, tiene la misma "facilidad" de producirse que cualquiera de los demás sucesos elementales.
Ejemplo: el dado del ejemplo anterior tiene un espacio muestral equiprobable, pero si el dado tiene trampa ("está cargado", "no está equilibrado"), el espacio muestral es formalmente el mismo conjunto, pero no es equiprobable. En este curso trabajamos sólo el caso equiprobable.
Veamos ahora cómo surge la idea de Probabilidad $P(A)$ de un suceso $A$.
Consideremos el experimento aleatorio "arrojar una chincheta." El espacio muestral es
$$E=\{\text{punta arriba}, \text{punta abajo} \}$$
Consideremos el suceso elemental $A$: "punta arriba".
Empezamos ya con el tema principal de esta entrada.
DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD.
Lo primero de todo, es definir qué es un experimento aleatorio (del latín aleatorius, derivado de alea que significa "juego de azar", "azar", "suerte").
Llamamos experimento aleatorio a aquel experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado va a obtenerse. Lo contrario sería un experimento determinista.
Ejemplo: si nos preguntamos por el tiempo que tarda en caer al suelo desde una ventana una moneda es un experimento determinista, pero si nos preguntamos si dará cruz, es aleatorio. Las leyes de la Física nos permiten predecir cuánto tardará esa moneda en llegar al suelo, pero no nos dirá si se obtiene cara $1$ o cruz $0$.
Llamamos Espacio muestral $E$ de un experimento aleatorio al conjunto de resultados posibles al realizar el experimento.
Un suceso (o evento) $A$ es cualquier subconjunto de $E$, es decir, un conjunto más pequeño dentro de $E$ (se denota así $A\subseteq E$). A los objetos que forman el espacio muestral, se les llama sucesos elementales.
Ejemplo: si el experimento aleatorio consiste en arrojar un dado cúbico equilibrado (sin trampa, que no esté "cargado"), el espacio muestral es $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, y el suceso $A=\{5\}$: "obtener un $5$" es un suceso elemental y es un subconjunto de $E$ puesto que $\{5\}$ "está dentro" de $E$.
El suceso $B=\{2, 4, 6\}$: "obtener un número par" no es elemental sino compuesto, y es un subconjunto de $E$. El suceso se habrá cumplido si al arrojar el dado, el resultado obtenido es un $2$ o un $4$ o un $6$, es decir, alguno de ellos. Es claro que es más probable que se cumpla el suceso $B$ que el $A$, porque $B$ es un conjunto "más grande" que $A$...
Un Espacio muestral de un experimento aleatorio se dice equiprobable si cualquier suceso elemental que lo forma, tiene la misma "facilidad" de producirse que cualquiera de los demás sucesos elementales.
Ejemplo: el dado del ejemplo anterior tiene un espacio muestral equiprobable, pero si el dado tiene trampa ("está cargado", "no está equilibrado"), el espacio muestral es formalmente el mismo conjunto, pero no es equiprobable. En este curso trabajamos sólo el caso equiprobable.
Veamos ahora cómo surge la idea de Probabilidad $P(A)$ de un suceso $A$.
Consideremos el experimento aleatorio "arrojar una chincheta." El espacio muestral es
$$E=\{\text{punta arriba}, \text{punta abajo} \}$$
 |
| Espacio muestral |
Supongamos que repetimos el experimento de arrojar la chincheta un gran número $N$ de veces, el suceso $A$ se habrá producido un cierto número $f(A)$ de veces y podemos hacer una estadística de ello. Si llamamos $f(A)$ a la frecuencia absoluta de aparición de $A$; tenemos la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$, definida por:
$$f_r(A)=\frac{f(A)}{N}$$
Obviamente la frecuencia relativa está comprendida entre $0$ y $1$.
Se encuentra experimentalmente que, cuando el número $N$ de lanzamientos se hace cada vez más grande, la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$ tiende a "estabilizarse" en torno a un número fijo: su probabilidad $P(A)$. Ésta es la llamada definición "frecuentista" de Probabilidad de un suceso, de gran importancia histórica.
Así, por ejemplo si realizamos 10 series de 100 lanzamientos de chincheta, realizamos la estadística de la aparición del suceso $A$:
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| Tabla de frecuencias relativas hasta 1000 lanzamientos |
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| Gráfica de frecuencias relativas |
REGLA DE LAPLACE
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| P-S Laplace |
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), un astrónomo, físico y matemático francés describió cómo calcular teóricamente la probabilidad de un suceso $A$ de un experimento aleatorio cuando el espacio muestral es equiprobable:
$$P(A)=\frac{\text{número de casos favorables al suceso}}{\text{número de casos posibles}}$$
Así, si llamamos $|A|$ al "tamaño" del conjunto que representa al suceso $A$ y $|E|$ al "tamaño" del espacio muestral equiprobable $E$, entonces:
$$P(A)=\frac{|A|}{|E|}.$$
Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un dado equilibrado salga "un $5$ o un $6$" es $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, porque el conjunto $A=\{5, 6 \}$ es de "tamaño" $2$ y $|E|=6$.
Si repitiésemos miles de veces este experimento, es de esperar que se produzca este suceso $A$ una de cada tres veces.
PLAN DE TRABAJO💀
- Tras leer atentamente el tema realiza los ejercicios, copiando el enunciado, de las páginas 270, 271 y 272.
- Hacer los ejercicios 38, 40 y 41 de la página 275.
Cuidaos mucho.
