Hoy vamos a ver operaciones con matrices. Vamos a estudiar cómo se suman, cómo se multiplica una matriz por un número y cómo se multiplican dos matrices.
Consideremos el conjunto $\mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R})$ de todas las matrices, de números reales, de $m$ filas y $n$ columnas ("matrices $m\times n$").
Mientras no se diga lo contrario, siempre nos referiremos a matrices de números reales.
SUMA DE DOS MATRICES
Sólo se pueden sumar matrices que tengan las mismas dimensiones, y se suman del modo que cabría esperar: sumando los elementos en las mismas posiciones, es decir:
Mientras no se diga lo contrario, siempre nos referiremos a matrices de números reales.
SUMA DE DOS MATRICES
Sólo se pueden sumar matrices que tengan las mismas dimensiones, y se suman del modo que cabría esperar: sumando los elementos en las mismas posiciones, es decir:
$$(A+B)_{ij}=A_{ij}+B_{ij}$$
Ejemplo:
Las matrices $A=\left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\\7 & 8\end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix}9 & 10 & 11\\12 & 13 & 14\end{matrix}\right)$ no se pueden sumar porque no tienen las mismas dimensiones.
Las matrices $A=\left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\\7 & 8\end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix}9 & 10 & 11\\12 & 13 & 14\end{matrix}\right)$ no se pueden sumar porque no tienen las mismas dimensiones.
En cambio,
$A=\left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix}7 & 8\\9 & 10\\11 & 12\end{matrix}\right)$ sí y su suma es:
$$A+B=\left(\begin{matrix}1+7 & 2+8\\3+9 & 4+10\\5+11 & 6+12\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8 & 10\\12 & 14\\16 & 18\end{matrix}\right).
$$
Es obvio que la suma de matrices $m\times n$ cumple la propiedad conmutativa: $A+B=B+A$ y también la asociativa: $(A+B)+C=A+(B+C)$. Ésta última nos permite suprimir paréntesis. Por otra parte, cada matriz $A$ tiene una única matriz opuesta $-A$, la cual se obtiene fácilmente cambiando de signo todos los elementos que constituyen la matriz $A$, es decir: $(-A)_{ij}=-A_{ij}$. Obviamente $A+(-A)$ es igual a la matriz nula $O_{m\times n}$, cuyos elementos valen todos $0$.
Para restar dos matrices $m\times n$, simplemente se suman la matriz minuendo y la matriz opuesta del sustraendo.
Ejercicio: Una matriz cuadrada $A$, se dice antisimétrica si y sólo si su transpuesta $A^{t}$ es igual a su opuesta $-A$, es decir $(A^{t})_{ij}=A_{ji}=-A_{ij}$. Comprueba que la siguiente matriz:
$$A=\left(\begin{matrix}0 & -2 & 7\\2 & 0 & 4\\-7 & -4 & 0\end{matrix}\right)$$ es antisimétrica, es decir, calcula las matrices $A^{t}$ , $-A$ y compáralas.
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Es habitual denotar los números (reales) mediante letras griegas minúsculas como $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\lambda$ (lambda), $\mu$ (mü), entre otras.... Equivalen, respectivamente, a nuestras letras latinas $a$,$b$,$l$ y $m$.
En todo lo que sigue, los números siempre serán números reales: enteros, o decimales de cualquier tipo (racionales o irracionales), ya sean positivos, 0 o negativos...
Para multiplicar un número $\lambda \in \mathbb{R}$ por una matriz $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $, simplemente se multiplica cada elemento de $A$ por $\lambda$, es decir:
$$(\lambda A)_{ij}=\lambda \cdot A_{ij}.$$
Ejemplos:
Para $A=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1\\3 & -4 & 1\end{matrix}\right)$ se tiene $$3A=\left(\begin{matrix}0 & 3 & 3\\9 & -12 & 3\end{matrix}\right)$$
$$-2A=\left(\begin{matrix}0 & -2 & -2\\-6 & 8 & -2\end{matrix}\right)$$
$$-\frac{3}{4}A=\left(\begin{matrix}0 & -3/4 & -3/4\\-9/4 & 3 & -3/4\end{matrix}\right)$$.
Algunas propiedades básicas, que son obvias, son:
--Asociativa: $\lambda (\mu A)=(\lambda \cdot \mu)A$
--Distributiva I: $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
--Distributiva II: $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
--Producto por $1$: $1A=A$
Os recomiendo que hagáis los ejercicios de la página 56 y el primer ejercicio apartado a) resuelto de la página 70.
Las soluciones están aquí. También podéis hacer el ejercicio de la página 60 (véase primero el texto). (solución)
Cuidaos mucho.
$A=\left(\begin{matrix}1 & 2\\3 & 4\\5 & 6\end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix}7 & 8\\9 & 10\\11 & 12\end{matrix}\right)$ sí y su suma es:
$$A+B=\left(\begin{matrix}1+7 & 2+8\\3+9 & 4+10\\5+11 & 6+12\end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}8 & 10\\12 & 14\\16 & 18\end{matrix}\right).
$$
Es obvio que la suma de matrices $m\times n$ cumple la propiedad conmutativa: $A+B=B+A$ y también la asociativa: $(A+B)+C=A+(B+C)$. Ésta última nos permite suprimir paréntesis. Por otra parte, cada matriz $A$ tiene una única matriz opuesta $-A$, la cual se obtiene fácilmente cambiando de signo todos los elementos que constituyen la matriz $A$, es decir: $(-A)_{ij}=-A_{ij}$. Obviamente $A+(-A)$ es igual a la matriz nula $O_{m\times n}$, cuyos elementos valen todos $0$.
Para restar dos matrices $m\times n$, simplemente se suman la matriz minuendo y la matriz opuesta del sustraendo.
Ejercicio: Una matriz cuadrada $A$, se dice antisimétrica si y sólo si su transpuesta $A^{t}$ es igual a su opuesta $-A$, es decir $(A^{t})_{ij}=A_{ji}=-A_{ij}$. Comprueba que la siguiente matriz:
$$A=\left(\begin{matrix}0 & -2 & 7\\2 & 0 & 4\\-7 & -4 & 0\end{matrix}\right)$$ es antisimétrica, es decir, calcula las matrices $A^{t}$ , $-A$ y compáralas.
PRODUCTO DE UN NÚMERO POR UNA MATRIZ
Es habitual denotar los números (reales) mediante letras griegas minúsculas como $\alpha$ (alpha), $\beta$ (beta), $\lambda$ (lambda), $\mu$ (mü), entre otras.... Equivalen, respectivamente, a nuestras letras latinas $a$,$b$,$l$ y $m$.
En todo lo que sigue, los números siempre serán números reales: enteros, o decimales de cualquier tipo (racionales o irracionales), ya sean positivos, 0 o negativos...
Para multiplicar un número $\lambda \in \mathbb{R}$ por una matriz $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $, simplemente se multiplica cada elemento de $A$ por $\lambda$, es decir:
$$(\lambda A)_{ij}=\lambda \cdot A_{ij}.$$
Ejemplos:
Para $A=\left(\begin{matrix}0 & 1 & 1\\3 & -4 & 1\end{matrix}\right)$ se tiene $$3A=\left(\begin{matrix}0 & 3 & 3\\9 & -12 & 3\end{matrix}\right)$$
$$-2A=\left(\begin{matrix}0 & -2 & -2\\-6 & 8 & -2\end{matrix}\right)$$
$$-\frac{3}{4}A=\left(\begin{matrix}0 & -3/4 & -3/4\\-9/4 & 3 & -3/4\end{matrix}\right)$$.
Algunas propiedades básicas, que son obvias, son:
--Asociativa: $\lambda (\mu A)=(\lambda \cdot \mu)A$
--Distributiva I: $(\lambda+\mu)A=\lambda A+\mu A$
--Distributiva II: $\lambda (A+B)=\lambda A+\lambda B$
--Producto por $1$: $1A=A$
Os recomiendo que hagáis los ejercicios de la página 56 y el primer ejercicio apartado a) resuelto de la página 70.
Las soluciones están aquí. También podéis hacer el ejercicio de la página 60 (véase primero el texto). (solución)
Cuidaos mucho.
