Hola a tod@s.
Ésta va a ser la última entrada de las tres que he dedicado a repasar algunos contenidos útiles para la EvaU en este periodo del 15 al 22 de junio. En las dos entradas anteriores me he centrado en los contenidos tradicionalmente más complicados y cubren la mayor parte de las dos primeras evaluaciones: para refrescaros la memoria un poco.
La entrada de hoy trata de repasar contenidos más recientes para vosotros, centrándonos más específicamente en la EvaU.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un caso especial e importante de problemas de optimización, útiles en CCSS.
Recordad que hay dos tipos de problema: con contexto ("programar la producción, en dos variables, de máximo beneficio o mínimo coste, con restricciones de tipo "inecuación lineal") o sin contexto (calcular el máximo y/o mínimo absoluto de una función polinómica de primer grado en dos variables $x$ e $y$ , sujetas a restricciones o ligaduras en forma de inecuaciones lineales ). Dicha función polinómica se llama función objetivo: $$F(x,y)= ax+by+c$$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ (habitualmente $c=0$).
En el primer caso hay que realizar un planteamiento mediante una tabla (ver ejemplos de clase y/o del libro). En el segundo no hay nada que plantear: simplemente resolver.
En cualquiera de los casos se llega a que hay que encontrar primero el conjunto-solución del sistema de inecuaciones lineales: la región o zona factible.
Dos advertencias:
1) En clase utilizamos el convenio (minoritario) de tachar o sombrear lo que NO es solución y no retachar o sombrear de nuevo lo que ya está tachado. De este modo, la región factible será la zona que no esté sombreada y saldrá un dibujo limpio, claro y sin tachones múltiples. Los trazos de las rectas deben ser líneas discontinuas si la inecuación es estricta ($>, <$) y continuas en caso contrario ($\leq, \geq$).
Obviamente eres libre de seguir este convenio. Sea cual sea debes advertirlo bien claro si decides resolver un problema de Programación Lineal; y remarcar bien cuál es la zona factible.
2) Hay veces que el contexto del problema obliga a usar sólo valores enteros de $x$ e $y$. Esta condición es parte de las restricciones, y no siempre se menciona en el enunciado del problema. Si es el caso, se halla la región factible como si ambas variables fuesen, como siempre, números reales. Habrá que advertir en el ejercicio que la "verdadera" región factible está formada por los puntos de coordenadas enteras contenidos en este polígono.
A partir de aquí suponemos que $x \in \mathbb{R}$ y $y \in \mathbb{R}.$
La abrumadora mayoría de las veces la zona factible será un polígono irregular cerrado y convexo ("sin esquinas o vértices entrantes"). En casos infrecuentes, será un polígono abierto (ver ejercicios resueltos del final del tema 4).
La teoría dice que la solución óptima (máximo o mínimo de la función-objetivo) está siempre en la frontera del polígono, en particular entre los vértices de dicho polígono: por eso es importante identificar los vértices y calcular sus coordenadas resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones.
Ya sólo quedaría calcular cuánto vale la función-objetivo en cada vértice y ver en cuál de éstos se obtiene el mayor y/o el menor valor.
Advertencia: Puede ocurrir que se alcance el mismo valor óptimo en dos vértices diferentes. Esto ocurre cuando la pendiente de las rectas asociadas a la función-objetivo y la de la recta que contiene a ambos vértices son iguales. Esto sólo quiere decir que ese valor óptimo (máximo o mínimo) de la función-objetivo se alcanza en más de una programación posible: las coordenadas de todos los puntos de la zona factible que estén dentro de ese segmento determinado por ambos vértices.
Éste es el único caso "raro" dentro de los típicos de la EvaU: lo normal es que no haya soluciones óptimas múltiples.
Para practicar: ejercicios de las páginas 117, 118, 119, 120 y 121. Os dejo aquí algunas soluciones.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.
Repasemos el lenguaje básico:
Experimento aleatorio simple: Experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado se obtendrá entre los posibles resultados. Este conjunto de resultados posibles se llama espacio muestral $\Omega.$
Suceso elemental: Es cualquiera de los elementos de $\Omega.$
Suceso: cualquier subconjunto de $\Omega.$ El suceso imposible $\emptyset$ (conjunto vacío) es aquel que no puede ocurrir nunca. El suceso seguro $\Omega$ es aquel que siempre ocurre.
Decimos que un suceso $A$ se verifica (o se da) cuando el resultado del experimento está dentro de $A$.
Operaciones con sucesos:
Suceso Unión de $A$ y $B$: Se representa por $A\cup B$ y es el que se verifica cuando se da alguno de ellos. Se asocia en el lenguaje ordinario a la disyunción inclusiva "ó".
Suceso Intersección de $A$ y $B$: Se representa por $A\cap B$ y es el que se verifica cuando se dan los dos a la vez. Se asocia en el lenguaje ordinario a la conjunción copulativa "y".
Si $A\cap B=\emptyset$, se dice que $A$ y $B$ son incompatibles: es imposible que se puedan dar a la vez.
Suceso contrario (o complementario) de $A$: se representa por $\overline{A}$ y es aquel que tiene los elementos de $\Omega$ que no son de $A$.
Obviamente, $A$ y $\overline{A}$ son incompatibles, $\overline{\overline{A}}=A$ y además $A \cup \overline{A}=\Omega$, es decir, uno de los dos se realiza siempre.
Suceso diferencia de $A$ "menos" $B$: Se representa habitualmente por $A-B$, es aquel que se verifica cuando se da $A$ pero no $B$. Se define también como: $A-B= A \cap \overline{B}$.
Leyes de De Morgan: relacionan complementos, uniones e intersecciones. Muy útiles.
$$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \qquad \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$
Probabilidad de un suceso y propiedades:
A cada suceso $A$ le corresponde una probabilidad $P(A)$, que es un número real que cumple
$0\leq P(A) \leq 1$ de modo que $P(\Omega)=1$ y $P(A \cup B)= P(A)+P(B)$ para cualquier par de sucesos $A$ y $B$ incompatibles.
De esta definición se deducen las siguientes propiedades y teoremas:
1) Si el suceso $A$ está contenido en el suceso $B$, es decir $A \subseteq B$, entonces $P(A)\leq P(B)$; intuitivamente, si un suceso es de menor "tamaño" que otro, su probabilidad será menor o igual que la del otro.
2) $P(A-B)=P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)$.
3) $P(\overline{A})=1-P(A)$.
4) $P(\emptyset)=0$.
5) $P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
6) Si realizamos una descomposición del espacio muestral $\Omega$ en un número $n$ de sucesos $\{ A_{1}, A_{2}, \dots , A_{n}\}$ incompatibles dos a dos ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$) (o sea, una partición) y hacemos una selección $\mathcal{A}$ (unión) de estos sucesos, la probabilidad de que se verifique alguno de los sucesos que forman dicha selección es
$$P(\bigcup_{A \in \mathcal{A} } A )=\sum_{A \in \mathcal{A} } P(A)$$
es decir, la suma de las probabilidades de los sucesos que constituyen $\mathcal{A}$.
7) Regla de Laplace: Si la partición anterior es equiprobable, es decir $P(A_{i})=1/n$ para cada $i=1,2, \dots, n$, y $\mathcal{A}$ es una selección (unión) de estos sucesos equiprobables, entonces:
$$P( \mathcal{A} )=\frac{|\mathcal{A}|}{n}=\frac{ \text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}.$$
Probabilidad condicionada.
Un experimento aleatorio compuesto es aquel que resulta de realizar sucesivos experimentos aleatorios simples.
La probabilidad de que se realice un suceso $B$ si antes se ha verificado el suceso $A\neq \emptyset$ se llama probabilidad de $B$ condicionada a $A$, se denota por $P(B|A)$ y es, por definición:
$$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
El hecho de conocer que se ha verificado $A$, cambia la probabilidad de $B$: la información cambia las probabilidades. En nuestro caso se toma como nuevo "espacio muestral" el conjunto $A$.
Si ambos sucesos $A, B$ no son imposibles, es obvio que $P(B|A)\neq P(A|B)$. No hay más que intercambiar $A$ con $B$ en la definición anterior y tener en cuenta que la intersección de sucesos es conmutativa: $B \cap A= A \cap B$.
De esta definición se obtiene una fórmula general para hallar $P(A \cap B)$:
8) $P(A \cap B)= P(A| B) \cdot P(B)= P(B|A) \cdot P(A)$
Los sucesos $A$ y $B$ se dicen independientes si la aparición de uno no influye en la realización del otro. Cuando esto ocurre: $P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)$
(recordad cómo se obtenía la distribución binomial o el caso de experimentos repetidos)
9) Teorema de la probabilidad total (en el contexto habitual de la EvaU, este teorema y el de Bayes van siempre "de la mano")
Si realizamos un experimento compuesto de dos experimentos simples tal que en el primero tenemos una partición de su espacio muestral $\Omega= A_{1} \cup A_{2},\cup \dots \cup A_{n}$ en $n$ sucesos mutuamente excluyentes ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$); si $B$ es un suceso del segundo experimento aleatorio simple, entonces:
$$P(B)=P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1})+P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2})+ \dots +P(B|A_{n}) \cdot P(A_{n}).$$
Se llega al suceso $B$ teniendo en cuenta todas las posibles "historias excluyentes" alternativas, pues pueden haberse dado previamente cualesquiera de los sucesos $A_1, A_2, \dots $. Esto se visualiza de forma dinámica con un diagrama de árbol como en la página 258 del libro.
Si se conociese qué alternativas han tenido lugar, la probabilidad de $B$ cambiaría, usándose el mismo teorema pero con el espacio muestral del primer experimento reducido.
10) Teorema de Bayes: En las mismas condiciones del apartado 9), si se pide la probabilidad condicionada $P(A_{i}|B)$ para algún $i$, basta usar la definición de la condicional:
$$P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i}) \cdot P(A_{i})}{P(B)}$$
donde $P(B)$ se calcula mediante el apartado 9)
Para practicar: ejercicios de las páginas 262, 263, 264 y 265. Aquí te dejo algunas soluciones.
Siempre hay un ejercicio de probabilidad en ambas opciones: por tabla de contingencias, álgebra de sucesos y Teorema de Bayes (que incluye al teorema de la probabilidad total).
ESTADÍSTICA
Son pocas cosas, pero hay una pregunta fija de estadística en la EvaU, y es muy fácil obtener 2 puntos.
Debéis recordar que para calcular probabilidades con una variable aleatoria $x$ Normal $N(\mu;\sigma)$ hay que tipificar con la fórmula
$$z= \frac{x-\mu}{\sigma}$$
y usar la Tabla de la Normal estándar que os darán.
Recordad que $\mu$ es la media de la distribución y $\sigma$ su desviación típica (no la confundáis con la varianza, que es su cuadrado: $Var(x)=\sigma^{2}$).
Podéis repasar este cálculo de probabilidades con la Normal en las páginas 286 y 287. Ya lo hicimos en clase en los días previos al inicio del confinamiento.
Hasta aquí, ya os remito a la entrada del 16 de marzo de este blog, donde continué hablando de la Estimación de la media poblacional a partir de la media muestral, con un nivel de confianza del $(1-\alpha)\cdot 100$%. Recordad las recomendaciones que os puse entonces y pongo aquí de nuevo.
(Observación: a veces, a $\alpha \cdot 100$% se le llama "nivel de significación". Por si acaso.)
Los ejercicios típicos están señalados en el enlace anterior. Como los ejercicios son siempre del mismo tipo, podéis encontrar numerosos ejemplos resueltos en mi Aula Virtual del IES. Ahí tenéis todos los ejercicios de estadística (resueltos) de la Selectividad de los últimos veinte años.
SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES.
Os remito a las entradas que escribí durante el confinamiento. Los ejercicios típicos suelen ser de resolver problemas que se plantean con sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, operaciones con matrices, cálculo de matrices inversas y discusión de sistemas por cálculo de rangos de matrices. Los determinantes se pueden usar como método alternativo al método de Gauss. Sobre los determinantes, os remito a los apuntes que os envié a cada uno de vosotros en torno al día 1 de mayo pasado.
Ejercicios-modelo de estos temas en mi Aula virtual, como en el apartado anterior. Por supuesto, con sus soluciones.
¡Buena Suerte a tod@s! ... y cumplid las normas de seguridad sanitaria.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) (18/junio/2020) Repaso EvaU MACS2
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVADAS
Esencialmente son:
Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica (no suele ser preciso dibujarla); estudio de la derivabilidad de una función a trozos; crecimiento y decrecimiento ("monotonía"), con máximos y mínimos (llamados también "extremos") locales (también llamados "relativos"); concavidad y convexidad (también llamado "curvatura"), con puntos de inflexión; máximos y mínimos globales (llamados también "extremos absolutos") y optimización de funciones.
Hay que señalar que las preguntas de Análisis suelen venir en apartados heterogéneos: a veces se pide una recta tangente, continuidad o derivabilidad, monotonía y una integral; otras veces piden asíntotas, máximos y mínimos locales y un área; y otras combinaciones.
Tenéis que pensar que, probablemente os sea más fácil obtener una puntuación favorable completa resolviendo los problemas de álgebra, probabilidad y estadística. Estos bloques tienen menos variabilidad de tipos de pregunta que en el de Análisis.
Estadísticamente es menos frecuente tener la puntuación completa en las preguntas de Análisis.
En lo que respecta a la derivación de funciones. Recordad que ésta es "lineal" es decir:
$(u+v)'=u'+v'$ y $(k \cdot u)'=k \cdot u'$, donde $u$, $v$ son funciones cualesquiera (que suponemos derivables) y $k$ es una constante real cualquiera (i.e. un número $k \in \mathbb{R}$).
Debéis tener presentes las reglas básicas de derivación del producto y del cociente:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$
La regla de la cadena, es mejor que la apliquéis ya incorporada en la tabla de funciones derivadas inmediatas.
(Véase columna derecha de la página 161)
RELACIÓN DERIVABILIDAD-CONTINUIDAD
$$f(x) \quad \text{derivable en } x=a \Longrightarrow f(x) \quad \text{continua en } x=a.$$
Así, si una función no es continua en un punto, puedes asegurar que no existe el valor de la derivada en ese punto.
Tened presente también que la recíproca es falsa: si una función es continua en un punto NO puedes asegurar que tenga derivada en ese punto (recordad el ejemplo-modelo de clase: la función valor absoluto de $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ pero NO tiene derivada en $x=0$ (las derivadas laterales en $x=0$ existen, pero no coinciden).
Conclusión: cuando te pidan estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto, debes exigir previamente que la función sea continua en ese punto. Una vez garantizado esto, calcula la función derivada de cada trozo (con las reglas de derivación y sin incluir la frontera) y exige la igualdad de derivadas laterales en el punto fronterizo.
(Este modo de hacerlo explota el hecho de que las funciones que manejáis habitualmente tienen funciones derivadas que, a su vez también son continuas).
Por supuesto, los puntos donde hay que estudiar la derivabilidad suelen ser las fronteras entre los trozos...
Ejercicios para practicar: los de las páginas 164, 165, 166 y 167.
Te dejo aquí algunas soluciones.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Recordad que hay tres tipos de ejercicios. Los modelos están en la página 174. El más común (y más fácil) es el llamado caso "elemental":
Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ (no es preciso dibujarla) en un punto $x=a$.
El punto de tangencia es $(a,f(a))$ y la pendiente de dicha recta viene dada por el valor de la función derivada para $x=a$. La ecuación, en forma punto-pendiente es:
$$y=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$$
Hay que dejar el resultado desarrollado siempre en forma explícita: $y=mx+n.$
En los otros dos casos, los datos son la pendiente o bien un punto de la recta exterior a la gráfica. En ambos casos hay que hallar los puntos de tangencia. La clave está en tener claro que las coordenadas del punto de tangencia tienen que cumplir a la vez las ecuaciones de la función y de la recta.
En efecto, no es difícil reconocer los otros dos tipos:
En el segundo tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que sea paralela a la recta $y=-3x+7$ (p.ej.)..." o simplemente "...cuya pendiente sea $-3$..."
El problema en este caso es cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente (así, si la recta paralela es $y=-3x+7$, la pendiente es $m= -3$).
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación $f'(c)=m$.
Basta resolver la ecuación $f'(c)=m$ en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n$.
En el tercer tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que pasa por el punto $A(a,b)$..."
Si $f(a)=b$, éste es precisamente el punto de tangencia porque cumple la ecuación que define la función $y=f(x)$, es decir, está en la gráfica. Éste sería el primer tipo de problema.
Pero si $f(a) \neq b$, entonces el punto A no es de la gráfica: es externo a ésta.
El problema en este caso es, otra vez, cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que la recta pedida pasa por los puntos $T(c,f(c))$ y $A(a,b)$ cuya pendiente vimos en 3º de ESO que se calculaba así:
$$m=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación:
$$f'(c)=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
Basta resolver esta ecuación en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda hallar la pendiente $m$ con $(f(c)-b)/(c-a)$ ó $f'(c)$ y exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n.$
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES (extremos locales)
Suponemos en lo que sigue que las funciones son derivables.
El resultado básico es que si la derivada de la función es positiva en un punto, entonces la función es creciente en ese punto. Y si es negativa, entonces es decreciente ahí. (Véase página 176 y 177)
$$f'(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es creciente en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es decreciente en } x=a$$
Si $f'(a)=0$, es decir, si $x=a$ es un punto crítico (ojo: el libro los llama "puntos singulares". Es un error) de $f(x)$, sólo podemos asegurar que la recta tangente ahí es paralela al eje horizontal.
La naturaleza del punto crítico suele verse fácilmente estudiando el signo de $f'(x)$ en las "proximidades" de $x=a$. Recordad:
$$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$$
(la recíproca no es cierta, ejemplo: $y=x^{3}$, es creciente en toda la recta real y no tiene extremos locales)
Dos consejos:
1) Para estudiar el signo de $f'(x)$: es conveniente factorizar (simplificar) al máximo la expresión de $f'(x)$ y debes tener en cuenta los puntos singulares (los que no son del Dominio) de la función $f(x)$.
Otra opción es confiar ciegamente en tu calculadora...ya hablamos de esto en clase ¿recordáis?
2) Si tu objetivo es hallar los posibles máximos y mínimos locales, debes poner:
$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$ o simplemente
"condición necesaria de extremo local: $f'(x)=0$, hallemos los puntos críticos".
Ya sólo quedará estudiar su naturaleza mirando el signo de la función derivada en las "proximidades" de cada punto crítico.
Recuerda: puede pasar perfectamente que un punto crítico no sea máximo ni mínimo local.
Como pongáis "$f'(x)=0 \longrightarrow \text{máximos, mínimos relativos}$" os fulminarán aunque lo demás parezca estar bien ...
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN
Aquí voy a ser demasiado esquemático y algo exagerado: la clave está en el signo de la función derivada de la función derivada: la derivada segunda $f''(x)$:
$$f''(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U invertida en } x=a$$
(piensa en una función cuadrática y su gráfica, si eso te ayuda)
La nomenclatura (cóncava, convexa) es diferente en los libros de bachillerato y los universitarios.
En los puntos de inflexión tiene lugar un cambio de curvatura. Para propósitos prácticos, de haber un punto de inflexión, los tienes que buscar entre las soluciones de la ecuación $f''(x)=0$. Se aplican los mismos comentarios y advertencias respecto a los extremos locales. Para decidir si un cierto punto es de inflexión, estudia el signo de la segunda derivada en las "proximidades" de ese punto. Si hay cambio de signo, sí lo será. (Véase página 178 y 179)
No perdáis de vista los ejercicios de determinación de coeficientes de una función que cumple ciertas condiciones dadas. Hicimos alguno en clase y son cada vez más frecuentes en EvaU. Mirad los ejercicios resueltos del final del tema 7.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
En clase argumentamos que una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo global y un mínimo global en ese intervalo. Si además es derivable en dicho intervalo, los máximos y mínimos absolutos se encontrarán entre los puntos críticos que haya dentro del intervalo y los extremos de dicho intervalo.
Éste es el caso más común (y el más sencillo). Ver página 180.
La mayor parte de las veces, la función cuyos máximo o mínimo absolutos se piden calcular viene ya dada o se construye a partir del enunciado del problema. (Ver ejemplos de clase o de los exámenes resueltos)
OPTIMIZACIÓN
Habitualmente se trata de hallar el mayor (o menor ) valor posible de una función que depende de dos variables. Estas dos variables siempre están relacionadas mediante una ecuación ("la ligadura"). Si despejas una variable en función de la otra y la sustituyes en la función que deseas optimizar, el problema se reduce a un problema como los del apartado anterior.
Habitualmente la variable que escoges como independiente suele adoptar valores dentro de un intervalo abierto o cerrado. (Ver los ejemplos y ejercicios de la página 181).
Para practicar ejercicios relacionados con los cinco apartados anteriores, son recomendables los de las páginas 182, 183, 184, 185, 186 y 187.
Aquí te dejo algunas soluciones.
(GRÁFICAS) ASÍNTOTAS DE FUNCIONES
Habitualmente no se pide un estudio detallado de las gráficas de funciones, sino más bien un estudio concreto: crecimiento, concavidad, y más frecuentemente se piden las ecuaciones de las rectas asíntotas.
Es importante no olvidar las familias básicas de funciones (lineal, cuadrática, racionales, exponencial y logarítmica) que estudiásteis en 1º de bachillerato.
Si os piden dibujar una gráfica, habitualmente será la de una función polinómica o la de una función racional. Rara vez piden exponenciales y logarítmicas. Pero no es imposible.
Para dibujar la gráfica de una función a trozos, habitualmente los trozos serán funciones de las básicas.
Para concretar, recordad que la recta horizontal $y=k$ será asíntota horizontal si el límite en infinito vale $k$. No obstante, echad un vistazo al diagrama de flujo de la página 199.
La recta vertical $x=a$ será asíntota vertical si alguno de los límites puntuales laterales cuando $x \rightarrow a$, tiende a infinito.
Los candidatos obvios a ser asíntotas verticales suelen ser los valores de $x$ que anulan algún denominador, en las funciones que manejáis habitualmente. Pero, cuidado, porque los límites hay que calcularlos. Los candidatos, a veces, son fallidos.
Una recta oblicua $y=mx+n$ se dice asíntota oblicua si $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0$ y $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-mx)=n.$
Advertencia: la Comisión coordinadora de Matemáticas nos ha dicho que es obligatorio calcular correcta y detalladamente los límites, aunque haya ciertos "atajos" (como que en funciones racionales tales que el grado del numerador sea uno más que el del denominador, la ecuación de la asíntota oblicua es $y=$ cociente de la división). Y ... no olvidéis escribir la ecuación de la asíntota, muchos calculáis correctamente los límites pero no ponéis la conclusión.
Ejercicios para practicar, (a vuestro criterio: los de las páginas 208, 209, 210, 211, 212 y 213. Aconsejo prestar más atención a las asíntotas y al crecimiento. )Aquí os dejo algunas soluciones. (Dos avisos: en estos ejercicios se aplica todo lo aprendido en los apartados anteriores. Fe de erratas: donde dice "puntos singulares" debe decir "puntos críticos").
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA y algunas aplicaciones.
Dada una función continua $f(x)$, llamamos Primitiva de $f(x)$ a una función $F(x)$ cuya función derivada es $f(x)$, es decir, $F'(x)=f(x)$. Hay infinitas primitivas para la misma función $f(x)$; y se diferencian entre sí por una constante $C$, pues $(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x).$
La integración como "operación" es la operación inversa de la derivación y
la expresión $$\int f(x) \,dx=F(x)+C$$ se llama integral indefinida.
Al igual que la derivación, la integración es una "operación" lineal, es decir:
$$\int (f(x)+g(x)) \,dx=\int f(x) \,dx+\int g(x) \,dx$$
$$\int (k \cdot f(x)) \,dx=k \cdot \int f(x) \,dx$$
($k \in \mathbb{R}$ es una constante)
La tabla de integrales indefinidas inmediatas que más os interesan la tenéis (con la regla de la cadena incorporada) en la columna derecha de la página 222. (Las trigonométricas casi nunca se piden)
Repasad el enunciado del TFC en la página 227 sobre la función área $\int_{a}^{x} f(t) \,dt$ y sobre todo la Regla de Barrow para calcular integrales definidas de funciones continuas:
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx=\Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Muy importante.
(Aviso: no hay ninguna barra de valor absoluto en la parte derecha de la igualdad anterior. Cuidado.)
Aplicaciones (en EvaU)
(En lo que sigue, asumimos que las funciones son continuas.)
1) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de $y=f(x)$, el eje horizontal (eje $X$) y las abscisas $x=a$ y $x=b$ (que son rectas verticales). Pongamos $a<b$. (Véase página 229)
Procedimiento: Resolver la ecuación $f(x)=0$ y seleccionar las soluciones que estén entre $a$ y $b$.
Estas soluciones, ordenadas de menor a mayor, determinan una partición del intervalo $[a,b]$ en intervalos más pequeños de distintos tamaños. Por ejemplo, si son tres soluciones (puntos) entre $x=a$ y $x=b$, habrá cuatro regiones: $[a,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3]$ y $ [x_3,b]$.
Si hay $m$ soluciones, habrá $1+m$ regiones.
Tendríamos que calcular una primitiva $F(x)$ y aplicar la regla de Barrow en cada región.
Así, en el caso de $m=3$ tenemos que el área (geométrica) pedida será la suma de los valores absolutos de las cuatro integrales definidas siguientes:
$$I_{1} = \int_{a}^{x_{1}} f(x) \,dx,\quad
I_{2} =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \,dx,\quad
I_{3} =\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \,dx,\quad
I_{4} =\int_{x_{3}}^{b} f(x) \,dx.$$
Por tanto, el área es $A= |I_{1}|+|I_{2}|+|I_{3}|+|I_{4}|.$ (en unidades cuadradas)
(La mayor parte de las veces, ni hace falta hacer la gráfica)
Observación importante: A veces se pide el área comprendida entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje horizontal (eje $X$) SIN hacer referencia a $x=a$ ni a $x=b$.
Procedimiento: En este caso, al resolver $f(x)=0$ se toman todas las regiones de tamaño finito que haya con sus soluciones.Nunca se tomarán semirrectas como regiones. Por ejemplo, tomando el caso de $3$ soluciones, ordenadas de menor a mayor, tomaríamos los intervalos $[x_1,x_2]$ y $[x_2,x_3]$
2) Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de DOS funciones $y=g(x)$ y $y=h(x)$ (Véase página 231)
Procedimiento: Escribimos una función diferencia $f(x)=g(x)-h(x)$ y resolvemos el problema equivalente de calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función diferencia y el eje horizontal (eje $X$). Se resuelve usando el procedimiento del apartado 1) anterior. (Ver observación)
Para practicar: ejercicios de las páginas 232, 233, 234, 235, 236 y 237.
Os dejo algunas soluciones aquí.
Esencialmente son:
Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica (no suele ser preciso dibujarla); estudio de la derivabilidad de una función a trozos; crecimiento y decrecimiento ("monotonía"), con máximos y mínimos (llamados también "extremos") locales (también llamados "relativos"); concavidad y convexidad (también llamado "curvatura"), con puntos de inflexión; máximos y mínimos globales (llamados también "extremos absolutos") y optimización de funciones.
Hay que señalar que las preguntas de Análisis suelen venir en apartados heterogéneos: a veces se pide una recta tangente, continuidad o derivabilidad, monotonía y una integral; otras veces piden asíntotas, máximos y mínimos locales y un área; y otras combinaciones.
Tenéis que pensar que, probablemente os sea más fácil obtener una puntuación favorable completa resolviendo los problemas de álgebra, probabilidad y estadística. Estos bloques tienen menos variabilidad de tipos de pregunta que en el de Análisis.
Estadísticamente es menos frecuente tener la puntuación completa en las preguntas de Análisis.
En lo que respecta a la derivación de funciones. Recordad que ésta es "lineal" es decir:
$(u+v)'=u'+v'$ y $(k \cdot u)'=k \cdot u'$, donde $u$, $v$ son funciones cualesquiera (que suponemos derivables) y $k$ es una constante real cualquiera (i.e. un número $k \in \mathbb{R}$).
Debéis tener presentes las reglas básicas de derivación del producto y del cociente:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$
La regla de la cadena, es mejor que la apliquéis ya incorporada en la tabla de funciones derivadas inmediatas.
(Véase columna derecha de la página 161)
RELACIÓN DERIVABILIDAD-CONTINUIDAD
$$f(x) \quad \text{derivable en } x=a \Longrightarrow f(x) \quad \text{continua en } x=a.$$
Así, si una función no es continua en un punto, puedes asegurar que no existe el valor de la derivada en ese punto.
Tened presente también que la recíproca es falsa: si una función es continua en un punto NO puedes asegurar que tenga derivada en ese punto (recordad el ejemplo-modelo de clase: la función valor absoluto de $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ pero NO tiene derivada en $x=0$ (las derivadas laterales en $x=0$ existen, pero no coinciden).
Conclusión: cuando te pidan estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto, debes exigir previamente que la función sea continua en ese punto. Una vez garantizado esto, calcula la función derivada de cada trozo (con las reglas de derivación y sin incluir la frontera) y exige la igualdad de derivadas laterales en el punto fronterizo.
(Este modo de hacerlo explota el hecho de que las funciones que manejáis habitualmente tienen funciones derivadas que, a su vez también son continuas).
Por supuesto, los puntos donde hay que estudiar la derivabilidad suelen ser las fronteras entre los trozos...
Ejercicios para practicar: los de las páginas 164, 165, 166 y 167.
Te dejo aquí algunas soluciones.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Recordad que hay tres tipos de ejercicios. Los modelos están en la página 174. El más común (y más fácil) es el llamado caso "elemental":
Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ (no es preciso dibujarla) en un punto $x=a$.
El punto de tangencia es $(a,f(a))$ y la pendiente de dicha recta viene dada por el valor de la función derivada para $x=a$. La ecuación, en forma punto-pendiente es:
$$y=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$$
Hay que dejar el resultado desarrollado siempre en forma explícita: $y=mx+n.$
En los otros dos casos, los datos son la pendiente o bien un punto de la recta exterior a la gráfica. En ambos casos hay que hallar los puntos de tangencia. La clave está en tener claro que las coordenadas del punto de tangencia tienen que cumplir a la vez las ecuaciones de la función y de la recta.
En efecto, no es difícil reconocer los otros dos tipos:
En el segundo tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que sea paralela a la recta $y=-3x+7$ (p.ej.)..." o simplemente "...cuya pendiente sea $-3$..."
El problema en este caso es cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente (así, si la recta paralela es $y=-3x+7$, la pendiente es $m= -3$).
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación $f'(c)=m$.
Basta resolver la ecuación $f'(c)=m$ en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n$.
En el tercer tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que pasa por el punto $A(a,b)$..."
Si $f(a)=b$, éste es precisamente el punto de tangencia porque cumple la ecuación que define la función $y=f(x)$, es decir, está en la gráfica. Éste sería el primer tipo de problema.
Pero si $f(a) \neq b$, entonces el punto A no es de la gráfica: es externo a ésta.
El problema en este caso es, otra vez, cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que la recta pedida pasa por los puntos $T(c,f(c))$ y $A(a,b)$ cuya pendiente vimos en 3º de ESO que se calculaba así:
$$m=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación:
$$f'(c)=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
Basta resolver esta ecuación en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda hallar la pendiente $m$ con $(f(c)-b)/(c-a)$ ó $f'(c)$ y exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n.$
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES (extremos locales)
Suponemos en lo que sigue que las funciones son derivables.
El resultado básico es que si la derivada de la función es positiva en un punto, entonces la función es creciente en ese punto. Y si es negativa, entonces es decreciente ahí. (Véase página 176 y 177)
$$f'(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es creciente en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es decreciente en } x=a$$
Si $f'(a)=0$, es decir, si $x=a$ es un punto crítico (ojo: el libro los llama "puntos singulares". Es un error) de $f(x)$, sólo podemos asegurar que la recta tangente ahí es paralela al eje horizontal.
La naturaleza del punto crítico suele verse fácilmente estudiando el signo de $f'(x)$ en las "proximidades" de $x=a$. Recordad:
$$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$$
(la recíproca no es cierta, ejemplo: $y=x^{3}$, es creciente en toda la recta real y no tiene extremos locales)
Dos consejos:
1) Para estudiar el signo de $f'(x)$: es conveniente factorizar (simplificar) al máximo la expresión de $f'(x)$ y debes tener en cuenta los puntos singulares (los que no son del Dominio) de la función $f(x)$.
Otra opción es confiar ciegamente en tu calculadora...ya hablamos de esto en clase ¿recordáis?
2) Si tu objetivo es hallar los posibles máximos y mínimos locales, debes poner:
$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$ o simplemente
"condición necesaria de extremo local: $f'(x)=0$, hallemos los puntos críticos".
Ya sólo quedará estudiar su naturaleza mirando el signo de la función derivada en las "proximidades" de cada punto crítico.
Recuerda: puede pasar perfectamente que un punto crítico no sea máximo ni mínimo local.
Como pongáis "$f'(x)=0 \longrightarrow \text{máximos, mínimos relativos}$" os fulminarán aunque lo demás parezca estar bien ...
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN
Aquí voy a ser demasiado esquemático y algo exagerado: la clave está en el signo de la función derivada de la función derivada: la derivada segunda $f''(x)$:
$$f''(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U invertida en } x=a$$
(piensa en una función cuadrática y su gráfica, si eso te ayuda)
La nomenclatura (cóncava, convexa) es diferente en los libros de bachillerato y los universitarios.
En los puntos de inflexión tiene lugar un cambio de curvatura. Para propósitos prácticos, de haber un punto de inflexión, los tienes que buscar entre las soluciones de la ecuación $f''(x)=0$. Se aplican los mismos comentarios y advertencias respecto a los extremos locales. Para decidir si un cierto punto es de inflexión, estudia el signo de la segunda derivada en las "proximidades" de ese punto. Si hay cambio de signo, sí lo será. (Véase página 178 y 179)
No perdáis de vista los ejercicios de determinación de coeficientes de una función que cumple ciertas condiciones dadas. Hicimos alguno en clase y son cada vez más frecuentes en EvaU. Mirad los ejercicios resueltos del final del tema 7.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
En clase argumentamos que una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo global y un mínimo global en ese intervalo. Si además es derivable en dicho intervalo, los máximos y mínimos absolutos se encontrarán entre los puntos críticos que haya dentro del intervalo y los extremos de dicho intervalo.
Éste es el caso más común (y el más sencillo). Ver página 180.
La mayor parte de las veces, la función cuyos máximo o mínimo absolutos se piden calcular viene ya dada o se construye a partir del enunciado del problema. (Ver ejemplos de clase o de los exámenes resueltos)
OPTIMIZACIÓN
Habitualmente se trata de hallar el mayor (o menor ) valor posible de una función que depende de dos variables. Estas dos variables siempre están relacionadas mediante una ecuación ("la ligadura"). Si despejas una variable en función de la otra y la sustituyes en la función que deseas optimizar, el problema se reduce a un problema como los del apartado anterior.
Habitualmente la variable que escoges como independiente suele adoptar valores dentro de un intervalo abierto o cerrado. (Ver los ejemplos y ejercicios de la página 181).
Para practicar ejercicios relacionados con los cinco apartados anteriores, son recomendables los de las páginas 182, 183, 184, 185, 186 y 187.
Aquí te dejo algunas soluciones.
(GRÁFICAS) ASÍNTOTAS DE FUNCIONES
Habitualmente no se pide un estudio detallado de las gráficas de funciones, sino más bien un estudio concreto: crecimiento, concavidad, y más frecuentemente se piden las ecuaciones de las rectas asíntotas.
Es importante no olvidar las familias básicas de funciones (lineal, cuadrática, racionales, exponencial y logarítmica) que estudiásteis en 1º de bachillerato.
Si os piden dibujar una gráfica, habitualmente será la de una función polinómica o la de una función racional. Rara vez piden exponenciales y logarítmicas. Pero no es imposible.
Para dibujar la gráfica de una función a trozos, habitualmente los trozos serán funciones de las básicas.
Para concretar, recordad que la recta horizontal $y=k$ será asíntota horizontal si el límite en infinito vale $k$. No obstante, echad un vistazo al diagrama de flujo de la página 199.
La recta vertical $x=a$ será asíntota vertical si alguno de los límites puntuales laterales cuando $x \rightarrow a$, tiende a infinito.
Los candidatos obvios a ser asíntotas verticales suelen ser los valores de $x$ que anulan algún denominador, en las funciones que manejáis habitualmente. Pero, cuidado, porque los límites hay que calcularlos. Los candidatos, a veces, son fallidos.
Una recta oblicua $y=mx+n$ se dice asíntota oblicua si $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0$ y $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-mx)=n.$
Advertencia: la Comisión coordinadora de Matemáticas nos ha dicho que es obligatorio calcular correcta y detalladamente los límites, aunque haya ciertos "atajos" (como que en funciones racionales tales que el grado del numerador sea uno más que el del denominador, la ecuación de la asíntota oblicua es $y=$ cociente de la división). Y ... no olvidéis escribir la ecuación de la asíntota, muchos calculáis correctamente los límites pero no ponéis la conclusión.
Ejercicios para practicar, (a vuestro criterio: los de las páginas 208, 209, 210, 211, 212 y 213. Aconsejo prestar más atención a las asíntotas y al crecimiento. )Aquí os dejo algunas soluciones. (Dos avisos: en estos ejercicios se aplica todo lo aprendido en los apartados anteriores. Fe de erratas: donde dice "puntos singulares" debe decir "puntos críticos").
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA y algunas aplicaciones.
Dada una función continua $f(x)$, llamamos Primitiva de $f(x)$ a una función $F(x)$ cuya función derivada es $f(x)$, es decir, $F'(x)=f(x)$. Hay infinitas primitivas para la misma función $f(x)$; y se diferencian entre sí por una constante $C$, pues $(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x).$
La integración como "operación" es la operación inversa de la derivación y
la expresión $$\int f(x) \,dx=F(x)+C$$ se llama integral indefinida.
Al igual que la derivación, la integración es una "operación" lineal, es decir:
$$\int (f(x)+g(x)) \,dx=\int f(x) \,dx+\int g(x) \,dx$$
$$\int (k \cdot f(x)) \,dx=k \cdot \int f(x) \,dx$$
($k \in \mathbb{R}$ es una constante)
La tabla de integrales indefinidas inmediatas que más os interesan la tenéis (con la regla de la cadena incorporada) en la columna derecha de la página 222. (Las trigonométricas casi nunca se piden)
Repasad el enunciado del TFC en la página 227 sobre la función área $\int_{a}^{x} f(t) \,dt$ y sobre todo la Regla de Barrow para calcular integrales definidas de funciones continuas:
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx=\Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Muy importante.
(Aviso: no hay ninguna barra de valor absoluto en la parte derecha de la igualdad anterior. Cuidado.)
Aplicaciones (en EvaU)
(En lo que sigue, asumimos que las funciones son continuas.)
1) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de $y=f(x)$, el eje horizontal (eje $X$) y las abscisas $x=a$ y $x=b$ (que son rectas verticales). Pongamos $a<b$. (Véase página 229)
Procedimiento: Resolver la ecuación $f(x)=0$ y seleccionar las soluciones que estén entre $a$ y $b$.
Estas soluciones, ordenadas de menor a mayor, determinan una partición del intervalo $[a,b]$ en intervalos más pequeños de distintos tamaños. Por ejemplo, si son tres soluciones (puntos) entre $x=a$ y $x=b$, habrá cuatro regiones: $[a,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3]$ y $ [x_3,b]$.
Si hay $m$ soluciones, habrá $1+m$ regiones.
Tendríamos que calcular una primitiva $F(x)$ y aplicar la regla de Barrow en cada región.
Así, en el caso de $m=3$ tenemos que el área (geométrica) pedida será la suma de los valores absolutos de las cuatro integrales definidas siguientes:
$$I_{1} = \int_{a}^{x_{1}} f(x) \,dx,\quad
I_{2} =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \,dx,\quad
I_{3} =\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \,dx,\quad
I_{4} =\int_{x_{3}}^{b} f(x) \,dx.$$
Por tanto, el área es $A= |I_{1}|+|I_{2}|+|I_{3}|+|I_{4}|.$ (en unidades cuadradas)
(La mayor parte de las veces, ni hace falta hacer la gráfica)
Observación importante: A veces se pide el área comprendida entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje horizontal (eje $X$) SIN hacer referencia a $x=a$ ni a $x=b$.
Procedimiento: En este caso, al resolver $f(x)=0$ se toman todas las regiones de tamaño finito que haya con sus soluciones.Nunca se tomarán semirrectas como regiones. Por ejemplo, tomando el caso de $3$ soluciones, ordenadas de menor a mayor, tomaríamos los intervalos $[x_1,x_2]$ y $[x_2,x_3]$
2) Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de DOS funciones $y=g(x)$ y $y=h(x)$ (Véase página 231)
Procedimiento: Escribimos una función diferencia $f(x)=g(x)-h(x)$ y resolvemos el problema equivalente de calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función diferencia y el eje horizontal (eje $X$). Se resuelve usando el procedimiento del apartado 1) anterior. (Ver observación)
Para practicar: ejercicios de las páginas 232, 233, 234, 235, 236 y 237.
Os dejo algunas soluciones aquí.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) (16/junio/2020) Repaso EvaU MACS2
Hola a tod@s.
Os presento aquí unos comentarios e indicaciones para ayudaros a repasar para la prueba de EvaU de Matemáticas aplicadas a las CCSS II. Sólo es una guía, como os la contaría en una clase de repaso presencial. No puede obviamente sustituir al curso completo. Se darán algunas indicaciones sobre algunos temas y no se pretende ser exhaustivo.
La mayoría de los comentarios ya los hice a lo largo del curso, pero creo que no está de más recordároslos.
Por supuesto, sois libres para seguirlos o no.
Tradicionalmente había que escoger una y sólo una de las dos opciones A o B y resolver los problemas de la opción elegida. Una de las dos opciones (la A o la B) suele ser más "calculística" y la otra más conceptual, con menos cálculos. En cualquier caso, no son en absoluto difíciles.
Excepcionalmente, según las indicaciones de la Comisión organizadora, este año se permitirá combinar ejercicios de ambas opciones: seguid atentamente las indicaciones del tribunal.
La buena presentación y organización de las respuestas es muy importante. El factor psicológico tiene más influencia de la que parece (como tantas veces he dicho en clase). Tened presente que un corrector, quien deberá corregir unos escasos 200 exámenes de desconocidos, estará predispuesto a valorar bien un examen bien organizado y claro, aunque contenga errores de cálculo menores. Si encuentra un examen desorganizado y lioso que tenga que descifrar, lo valorará lo mejor que pueda porque es su obligación; pero es más probable que te otorgue una puntuación menor, y con razón.
En clase os dije que nunca debéis dejar espacio para la duda. No hay que dejar que el corrector interprete: hay que fijar bien la notación y las ideas teóricas básicas que hay que aplicar en cada problema.
CÁLCULO DE LÍMITES
Típicamente el cálculo de límites aparece al estudiar las asíntotas de una función, o al estudiar la derivabilidad o continuidad de funciones definidas a trozos (con o sin parámetro).
Rara vez se pide un límite aislado.
Lo bueno es que las funciones que manejáis son habitualmente combinaciones de polinómicas, racionales (=cocientes de polinomios), exponenciales y (algunas veces) logarítmicas. Las más simples que existen.
En todo caso, recordad que hay dos tipos de límites: los límites puntuales $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ y los límites en infinito $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$.
Para el cálculo de límites en infinito debéis usar el cálculo simbólico que aparece en la página 135 del libro. Os recuerdo que son importantes los criterios de comparación de infinitos de los apartados 4, 5 y 6 del tema 5 del libro. Serán útiles para el cálculo de asíntotas.
Para el cálculo de límites puntuales, se usa el hecho de que la mayoría de las funciones que manejáis son continuas en $\mathbb{R}$ salvo quizá en puntos aislados o intervalos.
En todo caso, los apartados 7 y 8 del tema 5 son útiles para éstos.
Advertencias importantes sobre cálculo de límites:
1) Las indeterminaciones (clasificadas en la página 136) son "señales de alarma", que indican que no puede usarse el cálculo simbólico mencionado antes. Se resuelven dependiendo del tipo de límite y de la función. No mezcléis métodos de límites en infinito con los de límites en un punto.
Practicad especialmente el caso de límites puntuales de funciones racionales (ind 0/0).
Jamás escribáis "indeterminación"$=$número ó "indeterminación"$=\infty$, porque os tacharán el ejercicio entero...
2) Nunca, nunca hagáis una "tabla de valores" para calcular límites con la calculadora. También os fulminarán por ello. Sabéis cómo debe hacerse ¿ok?
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS.
Recordad que el problema suele estar en la frontera entre los trozos.
Para ver si una función $f(x)$ es continua en un punto $x=a$, el esquema es siempre el mismo:
1º) Calcular $f(a)$. Si $a$ no está en el Dominio de $f(x)$ entonces ya es discontinua en $x=a$.
Si $f(a) \in \mathbb{R}$ entonces calculamos sus límites laterales.
2º) $$L_1=\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x > a}f(x)$$
$$L_2=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x < a}f(x)$$
Si alguno (o ambos) de estos límites tiende a infinito o no existe, o bien
$L_1 \in \mathbb{R}$ y $L_2 \in \mathbb{R}$ pero $L_1\neq L_2$, entonces NO existe el límite puntual
$$L=\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ y la función NO es continua en $x=a$.
(La discontinuidad sería de salto infinito en el primer caso y de salto finito en el segundo).
Si $L_1=L_2=L$, entonces dicho límite puntual SÍ existe y vale $L$. En este caso pasaríamos al siguiente apartado:
3º) ¿$L=f(a)$? Si es que SÍ, entonces $f(x)$ es continua en el punto $(a, f(a))$.
Si es que NO, sería una discontinuidad llamada "evitable".
OJO: No perdáis de vista la función "valor absoluto" $|g(x)|$ que es igual a $g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x)\geq 0$; y es $-g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x) < 0$.
Podéis practicar con los ejercicios de las páginas 144,145, 146, 147, 148 y 149.
Aquí os dejo algunas soluciones.
Os presento aquí unos comentarios e indicaciones para ayudaros a repasar para la prueba de EvaU de Matemáticas aplicadas a las CCSS II. Sólo es una guía, como os la contaría en una clase de repaso presencial. No puede obviamente sustituir al curso completo. Se darán algunas indicaciones sobre algunos temas y no se pretende ser exhaustivo.
La mayoría de los comentarios ya los hice a lo largo del curso, pero creo que no está de más recordároslos.
Por supuesto, sois libres para seguirlos o no.
Tradicionalmente había que escoger una y sólo una de las dos opciones A o B y resolver los problemas de la opción elegida. Una de las dos opciones (la A o la B) suele ser más "calculística" y la otra más conceptual, con menos cálculos. En cualquier caso, no son en absoluto difíciles.
Excepcionalmente, según las indicaciones de la Comisión organizadora, este año se permitirá combinar ejercicios de ambas opciones: seguid atentamente las indicaciones del tribunal.
La buena presentación y organización de las respuestas es muy importante. El factor psicológico tiene más influencia de la que parece (como tantas veces he dicho en clase). Tened presente que un corrector, quien deberá corregir unos escasos 200 exámenes de desconocidos, estará predispuesto a valorar bien un examen bien organizado y claro, aunque contenga errores de cálculo menores. Si encuentra un examen desorganizado y lioso que tenga que descifrar, lo valorará lo mejor que pueda porque es su obligación; pero es más probable que te otorgue una puntuación menor, y con razón.
En clase os dije que nunca debéis dejar espacio para la duda. No hay que dejar que el corrector interprete: hay que fijar bien la notación y las ideas teóricas básicas que hay que aplicar en cada problema.
CÁLCULO DE LÍMITES
Típicamente el cálculo de límites aparece al estudiar las asíntotas de una función, o al estudiar la derivabilidad o continuidad de funciones definidas a trozos (con o sin parámetro).
Rara vez se pide un límite aislado.
Lo bueno es que las funciones que manejáis son habitualmente combinaciones de polinómicas, racionales (=cocientes de polinomios), exponenciales y (algunas veces) logarítmicas. Las más simples que existen.
En todo caso, recordad que hay dos tipos de límites: los límites puntuales $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ y los límites en infinito $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$.
Para el cálculo de límites en infinito debéis usar el cálculo simbólico que aparece en la página 135 del libro. Os recuerdo que son importantes los criterios de comparación de infinitos de los apartados 4, 5 y 6 del tema 5 del libro. Serán útiles para el cálculo de asíntotas.
Para el cálculo de límites puntuales, se usa el hecho de que la mayoría de las funciones que manejáis son continuas en $\mathbb{R}$ salvo quizá en puntos aislados o intervalos.
En todo caso, los apartados 7 y 8 del tema 5 son útiles para éstos.
Advertencias importantes sobre cálculo de límites:
1) Las indeterminaciones (clasificadas en la página 136) son "señales de alarma", que indican que no puede usarse el cálculo simbólico mencionado antes. Se resuelven dependiendo del tipo de límite y de la función. No mezcléis métodos de límites en infinito con los de límites en un punto.
Practicad especialmente el caso de límites puntuales de funciones racionales (ind 0/0).
Jamás escribáis "indeterminación"$=$número ó "indeterminación"$=\infty$, porque os tacharán el ejercicio entero...
2) Nunca, nunca hagáis una "tabla de valores" para calcular límites con la calculadora. También os fulminarán por ello. Sabéis cómo debe hacerse ¿ok?
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS.
Recordad que el problema suele estar en la frontera entre los trozos.
Para ver si una función $f(x)$ es continua en un punto $x=a$, el esquema es siempre el mismo:
1º) Calcular $f(a)$. Si $a$ no está en el Dominio de $f(x)$ entonces ya es discontinua en $x=a$.
Si $f(a) \in \mathbb{R}$ entonces calculamos sus límites laterales.
2º) $$L_1=\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x > a}f(x)$$
$$L_2=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x < a}f(x)$$
Si alguno (o ambos) de estos límites tiende a infinito o no existe, o bien
$L_1 \in \mathbb{R}$ y $L_2 \in \mathbb{R}$ pero $L_1\neq L_2$, entonces NO existe el límite puntual
$$L=\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ y la función NO es continua en $x=a$.
(La discontinuidad sería de salto infinito en el primer caso y de salto finito en el segundo).
Si $L_1=L_2=L$, entonces dicho límite puntual SÍ existe y vale $L$. En este caso pasaríamos al siguiente apartado:
3º) ¿$L=f(a)$? Si es que SÍ, entonces $f(x)$ es continua en el punto $(a, f(a))$.
Si es que NO, sería una discontinuidad llamada "evitable".
OJO: No perdáis de vista la función "valor absoluto" $|g(x)|$ que es igual a $g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x)\geq 0$; y es $-g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x) < 0$.
Podéis practicar con los ejercicios de las páginas 144,145, 146, 147, 148 y 149.
Aquí os dejo algunas soluciones.
Información de Tutoría de B2C: Instrucciones de desarrollo de la EvaU 2020 (02/junio//2020)
Por indicación de la Vicerrectora de Estudiantes de la Universidad
Complutense y Presidenta de la Comisión Organizadora de la Comunidad de
Madrid, se anuncian instrucciones de interés sobre el desarrollo de la
EvAU para conocimiento de los estudiantes de 2º de bachillerato. Estas instrucciones están publicadas en la página
web de la universidad
2º de BACHILLERATO Información de Tutoría B2C.--1 de junio--
Hola a tod@s,
Os adjunto información elaborada por el departamento de Orientación para la Universidad y aquí otra información de Orientación para Ciclos Formativos de grado superior, por si fuese de vuestro interés.
También os informo:
1) La fecha prevista de comunicación de vuestras notas de Evaluación final ordinaria es el 11 de junio próximo.
2) Aquellos de vosotros interesados en realizar las pruebas de acceso a Ciclos Formativos de grado superior: está prevista su celebración, en principio, desde la segunda semana del mes de junio...
ACTUALIZACIÓN (02-junio-2020): Serán los días 24 y 25 de junio. Consultad urgentemente la página web del IES. Instrucciones.
Por tanto:
Estad pendientes de las páginas web del IES y de sus departamentos. Para cuestiones informativas de todo tipo. (Anuncios, convocatorias, criterios de evaluación, matriculación presencial en la EvaU, procesos de evaluación para la convocatoria extraordinaria, etc)
Un saludo para tod@s.
Os adjunto información elaborada por el departamento de Orientación para la Universidad y aquí otra información de Orientación para Ciclos Formativos de grado superior, por si fuese de vuestro interés.
También os informo:
1) La fecha prevista de comunicación de vuestras notas de Evaluación final ordinaria es el 11 de junio próximo.
2) Aquellos de vosotros interesados en realizar las pruebas de acceso a Ciclos Formativos de grado superior: está prevista su celebración, en principio, desde la segunda semana del mes de junio...
ACTUALIZACIÓN (02-junio-2020): Serán los días 24 y 25 de junio. Consultad urgentemente la página web del IES. Instrucciones.
Por tanto:
Estad pendientes de las páginas web del IES y de sus departamentos. Para cuestiones informativas de todo tipo. (Anuncios, convocatorias, criterios de evaluación, matriculación presencial en la EvaU, procesos de evaluación para la convocatoria extraordinaria, etc)
Un saludo para tod@s.
2ºBachillerato CCSS (B2C-Tutoría): IMPORTANTE: ¡Nuevo calendario de EvaU!
Os remito información importante:
Buenos días,
Os
informamos que la Comisión Organizadora de la EvAU en la Comunidad de
Madrid, en su sesión del día 14 de mayo de 2020, aprobó un nuevo
calendario para la realización de la prueba. Podéis consultar el
calendario de acceso a través del siguiente enlace:
Además,
hemos añadido un nuevo apartado en nuestra web que puede ser
interesante para vuestros alumnos de bachillerato. Se trata de los
programas de voluntariado que proponen las diferentes universidades de
la Comunidad de Madrid, podéis encontrar la información en el enlace:
Un saludo,
Centro de Información y Asesoramiento Universitario
Dirección General de Universidades y Enseñanzas Artísticas Superiores
CONSEJERÍA DE CIENCIA, UNIVERSIDADES E INNOVACIÓN
Calle del General Díaz Porlier, 35. Planta baja
Tel.: 91 720 02 06/07
www.comunidad.madrid
www.emes.es
Centro de Información y Asesoramiento Universitario
Dirección General de Universidades y Enseñanzas Artísticas Superiores
CONSEJERÍA DE CIENCIA, UNIVERSIDADES E INNOVACIÓN
Calle del General Díaz Porlier, 35. Planta baja
Tel.: 91 720 02 06/07
www.comunidad.madrid
www.emes.es
1º de E.S.O. "E" Programación del plan de Refuerzo para 1ºE
Hola a tod@s.
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Pongo aquí la programación de las actividades para 1ºE , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
Véase: https://www.educa2.madrid.org/web/dpto.-matematicas1/crisis-coronavirus
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Pongo aquí la programación de las actividades para 1ºE , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
 |
| PROGRAMACIÓN PARA 1ºE |
--Los ejercicios deberán hacerse “a mano”, bien presentados, legibles, con fotos identificadas
y en un único adjunto- archivo pdf.
Conservadlas también en papel. Insisto: el contenido debe estar ordenado y legible.
--Quienes hayáis enviado ejercicios del blog a fecha de hoy,
no tenéis que reenviarlos de nuevo, sólo
los nuevos que se propongan en el blog hasta el 14 de mayo.
--Las entregas deberán enviarse a mi correo electrónico
y el ASUNTO del correo debe ajustarse al
formato: “E1E APELLIDOS NOMBRE, 1ªEv, 2ªEv o
3ªEv" (la que le corresponda a cada uno). Es muy
recomendable no esperar hasta el último momento para realizar la entrega.
--En caso de anomalías de cualquier tipo en el contenido de
la entrega, se os
podrá requerir en cualquier momento para
contestar algunas preguntas relacionadas con la entrega.
Espero responder así a todos los correos electrónicos que me habéis enviado estos últimos días.
Por favor, disculpadme si alguno ha quedado sin contestar.
Gracias y mucho ánimo.
El profesor de la asignatura.
2º de E.S.O. "C" Programación del plan de Refuerzo para 2ºC
Hola a tod@s.
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Pongo aquí la programación de las actividades para 2ºC , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
Véase: https://www.educa2.madrid.org/web/dpto.-matematicas1/crisis-coronavirus
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Pongo aquí la programación de las actividades para 2ºC , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
 |
| PROGRAMACIÓN PARA E2C |
--Los ejercicios deberán hacerse “a mano”, bien presentados, legibles, con fotos identificadas
y en un único adjunto- archivo pdf.
Conservadlas también en papel.
--Quienes hayáis enviado ejercicios del blog a fecha de hoy,
no tenéis que reenviarlos de nuevo, sólo
los nuevos que se propongan en el blog hasta el 14 de mayo.
--Las entregas deberán enviarse a mi correo electrónico
y el ASUNTO del correo debe ajustarse al
formato: “E2C APELLIDOS NOMBRE, 1ªEv, 2ªEv o
3ªEv" (la que le corresponda a cada uno). Es muy
recomendable no esperar hasta el último momento para realizar la entrega.
--En caso de anomalías de cualquier tipo en el contenido de
la entrega, se os
podrá requerir en cualquier momento para
contestar algunas preguntas relacionadas con la entrega.
--Los que tengáis las
Matemáticas de 1º E.S.O. pendiente Y NO curséis RMT2º, debéis contactar con el/la
profesor/a que os realizó los exámenes parciales de pendientes a la mayor brevedad
posible, si no lo habéis hecho ya. Para
cualquier pregunta o duda en los ejercicios
o exámenes, dirigíos a él/ella.
Haced clic en el apartado “Contacta con tus profesores” en
el enlace de arriba.
Espero responder así a todos los correos electrónicos que me habéis enviado estos últimos días.
Por favor, disculpadme si alguno ha quedado sin contestar.
Gracias y mucho ánimo.
El profesor de la asignatura.
4ºESO Académicas (Ciencias) "4ºABE+4ºC": Programación del plan de refuerzo para 4ºABE+4ºC.
Hola a tod@s.
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Os pongo aquí la programación de las actividades para 4ºABE+4ºC , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
Véase: https://www.educa2.madrid.org/web/dpto.-matematicas1/crisis-coronavirus
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Os pongo aquí la programación de las actividades para 4ºABE+4ºC , cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
 |
| PROGRAMACIÓN DEL PLAN DE REFUERZO PARA 4ºABE+4ºC Académicas CCNN |
--Los ejercicios deberán hacerse “a mano”, con buena presentación, legibles, con fotos identificadas
y en un único adjunto- archivo pdf.
Conservadlas también en papel.
Aclaración: no habrá actividades "entregables" en el blog después del 14 de mayo.
Aclaración: no habrá actividades "entregables" en el blog después del 14 de mayo.
--Las entregas deberán enviarse a mi correo electrónico
y el ASUNTO del correo debe ajustarse al
formato: “GRUPO (por ej. 4C, 4B,…), APELLIDOS
NOMBRE, 1ªEv,
2ªEv o 3ªEv" (la que le corresponda a cada uno). Es muy
recomendable no esperar hasta el último momento para realizar la entrega.
--En caso de anomalías de cualquier tipo en el contenido de
la entrega, se os
podrá requerir en cualquier momento para
contestar algunas preguntas relacionadas con la entrega.
--Los que tengáis las
Matemáticas de 3ºE.S.O. pendiente, debéis contactar con la profesora que os
realizó los exámenes parciales de pendientes a la mayor brevedad posible, si no
lo habéis hecho ya. Tendréis que ajustaros al “PLAN PENDIENTES 3º ESO”,
haced clic en el enlace de
arriba. Para cualquier pregunta o duda en los ejercicios o exámenes, dirigíos a ella.
Haced clic en el apartado “Contacta con tus profesores” en
el enlace de arriba.
Espero responder así a todos los correos electrónicos que me habéis enviado estos últimos días.
Por favor, disculpadme si alguno ha quedado sin contestar.
Gracias y mucho ánimo.
El profesor de la asignatura.
2º de Bachillerato (CCSS) Programación del plan de Refuerzo para B2C
Hola a tod@s.
ACTUALIZACIÓN (11/05/2020): los alumnos con las MACS1 de 1º de Bachillerato pendientes deben entregar los ejercicios de su plan al correo de la profesora responsable antes del 25 de mayo.
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Os pongo aquí la programación de las actividades para B2C, cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
ACTUALIZACIÓN (11/05/2020): los alumnos con las MACS1 de 1º de Bachillerato pendientes deben entregar los ejercicios de su plan al correo de la profesora responsable antes del 25 de mayo.
El departamento de Matemáticas ya ha publicado el plan de refuerzo en cumplimiento de las instrucciones. Está accesible aquí
Os pongo aquí la programación de las actividades para B2C, cada uno de vosotros deberá realizar las actividades señaladas según su situación actual.
 |
| PROGRAMACIÓN PARA B2C |
--Los ejercicios deberán hacerse “a mano”, bien presentados, legibles, con fotos identificadas
y en un único adjunto archivo pdf. Se debe conservar el original en papel.
Aclaración: no habrá actividades "entregables" en el blog después del 14 de mayo.
Aclaración: no habrá actividades "entregables" en el blog después del 14 de mayo.
--Las entregas deberán enviarse a mi correo electrónico
y el ASUNTO del correo debe ajustarse al
formato: “B2C APELLIDOS NOMBRE, 1ªEv, 2ªEv o 3ªEv" (la que le corresponda a cada uno). Enviaré confirmación "recibido".
Es muy
recomendable no esperar hasta el último momento para realizar la entrega.
--En caso de anomalías de cualquier tipo en la entrega, se os
podrá requerir en cualquier momento para
contestar algunas preguntas relacionadas con la entrega.
--Los que tengáis las
MACS I pendiente, debéis contactar con la profesora responsable, a la mayor
brevedad posible, si no lo habéis hecho ya.
Tendréis que ajustaros al plan de pendientes MACS 1, consultad el enlace de arriba y no olvidéis actualizar la página web en vuestro navegador.
Para cualquier pregunta
o duda en los ejercicios, dirigíos a ella.
ACTUALIZACIÓN (11/05/2020): los alumnos con las MACS1 de 1º de Bachillerato pendientes deben entregar los ejercicios de su plan al correo de la profesora responsable antes del 25 de mayo.
ACTUALIZACIÓN (11/05/2020): los alumnos con las MACS1 de 1º de Bachillerato pendientes deben entregar los ejercicios de su plan al correo de la profesora responsable antes del 25 de mayo.
Espero responder así a todos los correos electrónicos que me habéis enviado estos últimos días.
Por favor, disculpadme si alguno ha quedado sin contestar.
Gracias y mucho ánimo.
El
profesor de la asignatura.
2º de BACHILLERATO CCSS (2ºC): Información de Tutoría.
He recibido esta comunicación de la Universidad Complutense, que puede ser de vuestro interés:
Desde
la Unidad de Orientación y Difusión de la Universidad Complutense os
queremos hacer llegar nuestro apoyo y ánimo en estos momentos tan
complicados para todos. Sabemos el esfuerzo que estáis haciendo para
mantener el buen desarrollo del curso escolar.
Os
escribimos en relación a la solicitud que nos enviasteis para realizar
alguna feria universitaria o charla en los meses de marzo o abril.
Debido a la cancelación de este tipo de actividades por las medidas
tomadas a causa del estado de alarma, consideramos conveniente haceros
llegar información que pueda ser de utilidad para vuestros estudiantes,
especialmente de 2º de Bachillerato.
Os
dejamos el enlace de la feria virtual UNIFERIA, promocionada por CRUE
Universidades Españolas, que tuvo lugar el pasado mes de febrero, en la
que, a pesar de no tener activado el chat, podréis encontrar toda la
información de los grados ofertados, tanto por la Universidad
Complutense como por otras 51 universidades: https://uniferia2020.easyvirtualfair.com
También os adjuntamos nuestra web https://venalacomplu.ucm.es que
mantenemos actualizada con la información para futuros estudiantes UCM,
donde se puede encontrar información sobre admisión, titulaciones UCM
ofertadas y todos los servicios que puedan resultar de interés.
En
cualquier caso, si tenéis alguna duda o propuesta de actividad, tanto
vuestra como de vuestros estudiantes, podéis escribirnos a uod@ucm.es.
Os mantendremos informados de cualquier novedad o recurso que pueda ser de utilidad para la comunidad educativa.
Esperamos que pronto podamos retomar la actividad académica con normalidad.
Un cordial saludo de todo nuestro equipo,
Unidad de Orientación y Difusión
Universidad Complutense de Madrid
Edificio de Estudiantes
Avda. Complutense, s/n
28040 Madrid
91 394 1272 / 1455 / 1227
Información del departamento de Matemáticas (para todos los cursos).
Buenos días a tod@s.
El departamento de Matemáticas ha publicado en su página web un comunicado de interés para todo el alumnado. Leed, por favor, el documento informativo y los dos primeros apartados de la página web , incluyendo el titulado: "Contacta con tus profesores".
Gracias.
Saludos.
El departamento de Matemáticas ha publicado en su página web un comunicado de interés para todo el alumnado. Leed, por favor, el documento informativo y los dos primeros apartados de la página web , incluyendo el titulado: "Contacta con tus profesores".
Gracias.
Saludos.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) : Álgebra de matrices IV: Matriz inversa de una matriz cuadrada.
Hola a tod@s.
Hoy vamos a tratar uno de los puntos importantes del tema 2 del libro: la matriz inversa de una matriz cuadrada.
Mientras no digamos lo contrario, en lo que sigue trabajaremos siempre con matrices cuadradas. Los ejemplos y ejercicios serán mayoritariamente de matrices de orden 2 o 3, aunque lo que vamos a contar vale también para órdenes superiores.
Llamamos matriz unidad (o identidad) de orden $n$ a la matriz cuadrada diagonal $I_n$ compuesta por " $n$ unos" en la diagonal principal y "ceros" en los demás elementos:
$$I_{ij}=0 \quad \text{si} \quad i\neq j \qquad I_{ij}=1 \quad \text{si} \quad i= j$$
$$I_{2}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix}
\right) \qquad I_{3}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right) \qquad I_{4}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)$$
La matriz unidad tiene la particularidad de jugar el papel del "uno" en la multiplicación de matrices cuadradas, es decir $AI=IA=A.$
Dada una matriz cuadrada $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ se dice que es invertible y que su matriz inversa es $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ si
$$I=AB=BA.$$
A la matriz inversa de $A$, se la denota con la expresión $A^{-1}.$
Importante: La inversa de $A$ puede no existir, pero si existe es única para esa $A.$
¿CÓMO CALCULAR $A^{-1}$?
En el tema de determinantes (tema 3 del libro) veremos un método muy práctico, pero en MACSII el método de Gauss-Jordan ha sido (y sigue siendo) muchos años el método "oficial", y el de determinantes es el método "oficial" en MATEMÁTICAS II. Actualmente se aceptan ambos modos de calcular $A^{-1}$ en MACSII.
Para hallar la matriz inversa de $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ uno puede tratar de resolver la ecuación matricial $AX=I$ donde $X$ es una matriz $n\times n$ cuyos elementos son incógnitas (¡un total de $n^2$ incógnitas!). Esto conduce a $n$ sistemas de ecuaciones, todos ellos con la misma matriz de coeficientes e igualados a cada una de las columnas de $I$.
Con ello se deduce que el cálculo de $A^{-1}$ equivale a aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(A|I).$$
Si existe la inversa (y sólo en ese caso) el final del algoritmo será la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(I|A^{-1}).$$
Véase ejemplo resuelto en la página 3 del segundo resumen.
También podéis ver el siguiente vídeo, para que veáis cómo se hace. Otro ejemplo interesante aquí.
Si recordamos el mecanismo del algoritmo de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius, podemos dar el criterio de existencia de $A^{-1}$:
$$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad \text{ es invertible} \quad \Longleftrightarrow \quad rg(A)=n.$$
En el tema 3 de Determinantes veremos que esto es equivalente a decir que el determinante $|A|$ de la matriz cuadrada $A$ no es cero, es decir, $$rg(A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad |A|\neq 0.$$
A las matrices invertibles se las llama también regulares, y las que no, singulares. Revisitaremos en la siguiente entrada cómo se calcula el rango de una matriz cualquiera, con o sin parámetro libre.
Algunas propiedades de la inversa son:
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}, \qquad (A^{-1})^{-1}=A.$$
Tenéis más ejemplos resueltos (y ejercicios propuestos) en las páginas 62, 63, 65, 72 y 73.
Las soluciones están aquí.
Si te preguntas, con razón, para qué sirve hallar $A^{-1}$ te diré que, de momento, nos sirve para resolver ecuaciones matriciales:
$$AX=C \Longrightarrow X=A^{-1}C$$
y en particular e importante, para sistemas compatibles determinados se cumple: $ A\vec{x}=\vec{b} \Longrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}.$
Otra aplicación útil y muy frecuente de $A^{-1}$ es la de despejar una matriz-incógnita $X$ en ecuaciones matriciales. Aquí tienes tres vídeos bien explicados sobre esto: Vídeo1, Vídeo2 y Vídeo3.
A veces, se ha planteado en EvaU una resolución de un sistema de ecuaciones matriciales, por ejemplo, el ejercicio 6 de la página 65 del libro, o también podéis mirar este otro ejemplo.
Para finalizar la entrada de hoy, quisiera mencionar (a estas alturas ya puedo decirlo) un tipo de ejercicios que a veces se ponen en los exámenes y en EvaU: ejercicios en los que hay que calcular alguna matriz usando al máximo las propiedades del álgebra de matrices, procurando no hacer cálculos explícitos y detallados con los términos de las matrices. Hay ejemplos (resueltos y propuestos) de ello en las páginas 71, 77, 78 y 79. Podéis también mirar estos ejemplos:
ejemplo1, ejemplo2, ejemplo3, ejemplo4, ejemplo5, ejemplo6, ejemplo7 y ejemplo8.
Cuidaos mucho.
Hoy vamos a tratar uno de los puntos importantes del tema 2 del libro: la matriz inversa de una matriz cuadrada.
Mientras no digamos lo contrario, en lo que sigue trabajaremos siempre con matrices cuadradas. Los ejemplos y ejercicios serán mayoritariamente de matrices de orden 2 o 3, aunque lo que vamos a contar vale también para órdenes superiores.
Llamamos matriz unidad (o identidad) de orden $n$ a la matriz cuadrada diagonal $I_n$ compuesta por " $n$ unos" en la diagonal principal y "ceros" en los demás elementos:
$$I_{ij}=0 \quad \text{si} \quad i\neq j \qquad I_{ij}=1 \quad \text{si} \quad i= j$$
$$I_{2}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{matrix}
\right) \qquad I_{3}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right) \qquad I_{4}=\left(
\begin{matrix}
1 & 0 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0 & 0\\
0 & 0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 0 & 1
\end{matrix}
\right)$$
La matriz unidad tiene la particularidad de jugar el papel del "uno" en la multiplicación de matrices cuadradas, es decir $AI=IA=A.$
Dada una matriz cuadrada $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ se dice que es invertible y que su matriz inversa es $B \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ si
$$I=AB=BA.$$
A la matriz inversa de $A$, se la denota con la expresión $A^{-1}.$
Importante: La inversa de $A$ puede no existir, pero si existe es única para esa $A.$
¿CÓMO CALCULAR $A^{-1}$?
En el tema de determinantes (tema 3 del libro) veremos un método muy práctico, pero en MACSII el método de Gauss-Jordan ha sido (y sigue siendo) muchos años el método "oficial", y el de determinantes es el método "oficial" en MATEMÁTICAS II. Actualmente se aceptan ambos modos de calcular $A^{-1}$ en MACSII.
Para hallar la matriz inversa de $A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R})$ uno puede tratar de resolver la ecuación matricial $AX=I$ donde $X$ es una matriz $n\times n$ cuyos elementos son incógnitas (¡un total de $n^2$ incógnitas!). Esto conduce a $n$ sistemas de ecuaciones, todos ellos con la misma matriz de coeficientes e igualados a cada una de las columnas de $I$.
Con ello se deduce que el cálculo de $A^{-1}$ equivale a aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan a la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(A|I).$$
Si existe la inversa (y sólo en ese caso) el final del algoritmo será la "supermatriz" $n\times 2n$ $$(I|A^{-1}).$$
Véase ejemplo resuelto en la página 3 del segundo resumen.
También podéis ver el siguiente vídeo, para que veáis cómo se hace. Otro ejemplo interesante aquí.
Si recordamos el mecanismo del algoritmo de Gauss-Jordan y el teorema de Rouché-Frobenius, podemos dar el criterio de existencia de $A^{-1}$:
$$A \in \mathcal{M}_{n}(\mathbb{R}) \quad \text{ es invertible} \quad \Longleftrightarrow \quad rg(A)=n.$$
En el tema 3 de Determinantes veremos que esto es equivalente a decir que el determinante $|A|$ de la matriz cuadrada $A$ no es cero, es decir, $$rg(A)=n \quad \Longleftrightarrow \quad |A|\neq 0.$$
A las matrices invertibles se las llama también regulares, y las que no, singulares. Revisitaremos en la siguiente entrada cómo se calcula el rango de una matriz cualquiera, con o sin parámetro libre.
Algunas propiedades de la inversa son:
$$ (AB)^{-1}=B^{-1}A^{-1}, \qquad (A^{t})^{-1}=(A^{-1})^{t}, \qquad (A^{-1})^{-1}=A.$$
Tenéis más ejemplos resueltos (y ejercicios propuestos) en las páginas 62, 63, 65, 72 y 73.
Las soluciones están aquí.
Si te preguntas, con razón, para qué sirve hallar $A^{-1}$ te diré que, de momento, nos sirve para resolver ecuaciones matriciales:
$$AX=C \Longrightarrow X=A^{-1}C$$
y en particular e importante, para sistemas compatibles determinados se cumple: $ A\vec{x}=\vec{b} \Longrightarrow \vec{x}=A^{-1}\vec{b}.$
Otra aplicación útil y muy frecuente de $A^{-1}$ es la de despejar una matriz-incógnita $X$ en ecuaciones matriciales. Aquí tienes tres vídeos bien explicados sobre esto: Vídeo1, Vídeo2 y Vídeo3.
A veces, se ha planteado en EvaU una resolución de un sistema de ecuaciones matriciales, por ejemplo, el ejercicio 6 de la página 65 del libro, o también podéis mirar este otro ejemplo.
Para finalizar la entrada de hoy, quisiera mencionar (a estas alturas ya puedo decirlo) un tipo de ejercicios que a veces se ponen en los exámenes y en EvaU: ejercicios en los que hay que calcular alguna matriz usando al máximo las propiedades del álgebra de matrices, procurando no hacer cálculos explícitos y detallados con los términos de las matrices. Hay ejemplos (resueltos y propuestos) de ello en las páginas 71, 77, 78 y 79. Podéis también mirar estos ejemplos:
ejemplo1, ejemplo2, ejemplo3, ejemplo4, ejemplo5, ejemplo6, ejemplo7 y ejemplo8.
Cuidaos mucho.
1º ESO "E" Breve introducción a la Probabilidad.
¡Hola a tod@s!
Es muy importante que sigáis repasando el tema de álgebra de la 2ª evaluación. Aquí están las soluciones de la hoja de ecuaciones de la anterior entrada.
Aquí te pongo la nueva hoja de ecuaciones. Recuerda que, en cualquier momento, te puedo pedir que me envíes una foto de alguna de las ecuaciones resueltas por ti...debes estar pendiente de ello.
En cuanto a los ejercicios propuestos de Estadística de la entrada anterior, he encontrado unos vídeos que pueden ayudarte a resolverlos, no está de más verlos (aunque sólo sea para repasar...)
que se puede representar gráficamente:
En dicha gráfica se aprecia cómo se aproxima la frecuencia relativa a un número próximo a $0,62$:su probabilidad. El papel de las fluctuaciones en torno a $P(A)$ es cada vez más irrelevante cuando el número $N$ de lanzamientos se hace tan grande como se quiera...
Es muy importante que sigáis repasando el tema de álgebra de la 2ª evaluación. Aquí están las soluciones de la hoja de ecuaciones de la anterior entrada.
Aquí te pongo la nueva hoja de ecuaciones. Recuerda que, en cualquier momento, te puedo pedir que me envíes una foto de alguna de las ecuaciones resueltas por ti...debes estar pendiente de ello.
En cuanto a los ejercicios propuestos de Estadística de la entrada anterior, he encontrado unos vídeos que pueden ayudarte a resolverlos, no está de más verlos (aunque sólo sea para repasar...)
- Para repasar el lenguaje de la Estadística puedes ver este Video1. (La explicación de los vídeos es casi exactamente como la haría yo en clase, por eso los he escogido entre los muchísimos vídeos que hay. Éstos me parecen especialmente claros)
- La frecuencia relativa será relevante en Probabilidad y la frecuencia absoluta acumulada será útil para hallar la Mediana. Quizá también te ayude este Video2 (En el vídeo, cuando pone "datos" debería decir "resultados", pues éstos son necesariamente distintos y los datos sí pueden estar repetidos)
- Para que veas unos cuantos gráficos estadísticos y cómo se construyen, puedes ver este Vídeo3.
- Los que sí son muy importantes son los parámetros centrales: Video4.
La Media $\overline{x}$ de $x$ es $$\overline{x}=\frac{x_1 \cdot f_1+x_2 \cdot f_2+...+x_n \cdot f_n}{N}=\frac{\sum_{i=1}^{n}x_i \cdot f_i}{N}.$$
El símbolo "$\sum$" se llama "sumatorio" (es una letra griega, la sigma mayúscula, equivalente a nuestra "S" latina) y sirve para abreviar sumas largas: $$\sum_{i=1}^{n} f_i \equiv f_1+f_2+f_3+...+f_n.$$
Obviamente, se cumple que el número total de datos es la suma de todas las frecuencias absolutas de los $n$ resultados: $N=\sum_{i=1}^{n} f_i$)
Se encuentra experimentalmente que, cuando el número $N$ de lanzamientos se hace cada vez más grande, la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$ tiende a "estabilizarse" en torno a un número fijo: su probabilidad $P(A)$. Ésta es la llamada definición "frecuentista" de Probabilidad de un suceso, de gran importancia histórica.
El símbolo "$\sum$" se llama "sumatorio" (es una letra griega, la sigma mayúscula, equivalente a nuestra "S" latina) y sirve para abreviar sumas largas: $$\sum_{i=1}^{n} f_i \equiv f_1+f_2+f_3+...+f_n.$$
Obviamente, se cumple que el número total de datos es la suma de todas las frecuencias absolutas de los $n$ resultados: $N=\sum_{i=1}^{n} f_i$)
En este punto, si no has hecho los ejercicios de estadística de la entrada anterior, ahora es el momento de hacerlos. Las soluciones, aquí.
Empezamos ya con el tema principal de esta entrada.
DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD.
Lo primero de todo, es definir qué es un experimento aleatorio (del latín aleatorius, derivado de alea que significa "juego de azar", "azar", "suerte").
Llamamos experimento aleatorio a aquel experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado va a obtenerse. Lo contrario sería un experimento determinista.
Ejemplo: si nos preguntamos por el tiempo que tarda en caer al suelo desde una ventana una moneda es un experimento determinista, pero si nos preguntamos si dará cruz, es aleatorio. Las leyes de la Física nos permiten predecir cuánto tardará esa moneda en llegar al suelo, pero no nos dirá si se obtiene cara $1$ o cruz $0$.
Llamamos Espacio muestral $E$ de un experimento aleatorio al conjunto de resultados posibles al realizar el experimento.
Un suceso (o evento) $A$ es cualquier subconjunto de $E$, es decir, un conjunto más pequeño dentro de $E$ (se denota así $A\subseteq E$). A los objetos que forman el espacio muestral, se les llama sucesos elementales.
Ejemplo: si el experimento aleatorio consiste en arrojar un dado cúbico equilibrado (sin trampa, que no esté "cargado"), el espacio muestral es $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, y el suceso $A=\{5\}$: "obtener un $5$" es un suceso elemental y es un subconjunto de $E$ puesto que $\{5\}$ "está dentro" de $E$.
El suceso $B=\{2, 4, 6\}$: "obtener un número par" no es elemental sino compuesto, y es un subconjunto de $E$. El suceso se habrá cumplido si al arrojar el dado, el resultado obtenido es un $2$ o un $4$ o un $6$, es decir, alguno de ellos. Es claro que es más probable que se cumpla el suceso $B$ que el $A$, porque $B$ es un conjunto "más grande" que $A$...
Un Espacio muestral de un experimento aleatorio se dice equiprobable si cualquier suceso elemental que lo forma, tiene la misma "facilidad" de producirse que cualquiera de los demás sucesos elementales.
Ejemplo: el dado del ejemplo anterior tiene un espacio muestral equiprobable, pero si el dado tiene trampa ("está cargado", "no está equilibrado"), el espacio muestral es formalmente el mismo conjunto, pero no es equiprobable. En este curso trabajamos sólo el caso equiprobable.
Veamos ahora cómo surge la idea de Probabilidad $P(A)$ de un suceso $A$.
Consideremos el experimento aleatorio "arrojar una chincheta." El espacio muestral es
$$E=\{\text{punta arriba}, \text{punta abajo} \}$$
Consideremos el suceso elemental $A$: "punta arriba".
Empezamos ya con el tema principal de esta entrada.
DEFINICIÓN FRECUENTISTA DE PROBABILIDAD.
Lo primero de todo, es definir qué es un experimento aleatorio (del latín aleatorius, derivado de alea que significa "juego de azar", "azar", "suerte").
Llamamos experimento aleatorio a aquel experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado va a obtenerse. Lo contrario sería un experimento determinista.
Ejemplo: si nos preguntamos por el tiempo que tarda en caer al suelo desde una ventana una moneda es un experimento determinista, pero si nos preguntamos si dará cruz, es aleatorio. Las leyes de la Física nos permiten predecir cuánto tardará esa moneda en llegar al suelo, pero no nos dirá si se obtiene cara $1$ o cruz $0$.
Llamamos Espacio muestral $E$ de un experimento aleatorio al conjunto de resultados posibles al realizar el experimento.
Un suceso (o evento) $A$ es cualquier subconjunto de $E$, es decir, un conjunto más pequeño dentro de $E$ (se denota así $A\subseteq E$). A los objetos que forman el espacio muestral, se les llama sucesos elementales.
Ejemplo: si el experimento aleatorio consiste en arrojar un dado cúbico equilibrado (sin trampa, que no esté "cargado"), el espacio muestral es $E=\{1, 2, 3, 4, 5, 6 \}$, y el suceso $A=\{5\}$: "obtener un $5$" es un suceso elemental y es un subconjunto de $E$ puesto que $\{5\}$ "está dentro" de $E$.
El suceso $B=\{2, 4, 6\}$: "obtener un número par" no es elemental sino compuesto, y es un subconjunto de $E$. El suceso se habrá cumplido si al arrojar el dado, el resultado obtenido es un $2$ o un $4$ o un $6$, es decir, alguno de ellos. Es claro que es más probable que se cumpla el suceso $B$ que el $A$, porque $B$ es un conjunto "más grande" que $A$...
Un Espacio muestral de un experimento aleatorio se dice equiprobable si cualquier suceso elemental que lo forma, tiene la misma "facilidad" de producirse que cualquiera de los demás sucesos elementales.
Ejemplo: el dado del ejemplo anterior tiene un espacio muestral equiprobable, pero si el dado tiene trampa ("está cargado", "no está equilibrado"), el espacio muestral es formalmente el mismo conjunto, pero no es equiprobable. En este curso trabajamos sólo el caso equiprobable.
Veamos ahora cómo surge la idea de Probabilidad $P(A)$ de un suceso $A$.
Consideremos el experimento aleatorio "arrojar una chincheta." El espacio muestral es
$$E=\{\text{punta arriba}, \text{punta abajo} \}$$
 |
| Espacio muestral |
Supongamos que repetimos el experimento de arrojar la chincheta un gran número $N$ de veces, el suceso $A$ se habrá producido un cierto número $f(A)$ de veces y podemos hacer una estadística de ello. Si llamamos $f(A)$ a la frecuencia absoluta de aparición de $A$; tenemos la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$, definida por:
$$f_r(A)=\frac{f(A)}{N}$$
Obviamente la frecuencia relativa está comprendida entre $0$ y $1$.
Se encuentra experimentalmente que, cuando el número $N$ de lanzamientos se hace cada vez más grande, la frecuencia relativa $f_r(A)$ del suceso $A$ tiende a "estabilizarse" en torno a un número fijo: su probabilidad $P(A)$. Ésta es la llamada definición "frecuentista" de Probabilidad de un suceso, de gran importancia histórica.
Así, por ejemplo si realizamos 10 series de 100 lanzamientos de chincheta, realizamos la estadística de la aparición del suceso $A$:
 |
| Tabla de frecuencias relativas hasta 1000 lanzamientos |
 |
| Gráfica de frecuencias relativas |
REGLA DE LAPLACE
 |
| P-S Laplace |
Pierre-Simon Laplace (1749-1827), un astrónomo, físico y matemático francés describió cómo calcular teóricamente la probabilidad de un suceso $A$ de un experimento aleatorio cuando el espacio muestral es equiprobable:
$$P(A)=\frac{\text{número de casos favorables al suceso}}{\text{número de casos posibles}}$$
Así, si llamamos $|A|$ al "tamaño" del conjunto que representa al suceso $A$ y $|E|$ al "tamaño" del espacio muestral equiprobable $E$, entonces:
$$P(A)=\frac{|A|}{|E|}.$$
Ejemplo: la probabilidad de que al lanzar un dado equilibrado salga "un $5$ o un $6$" es $\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$, porque el conjunto $A=\{5, 6 \}$ es de "tamaño" $2$ y $|E|=6$.
Si repitiésemos miles de veces este experimento, es de esperar que se produzca este suceso $A$ una de cada tres veces.
PLAN DE TRABAJO💀
- Tras leer atentamente el tema realiza los ejercicios, copiando el enunciado, de las páginas 270, 271 y 272.
- Hacer los ejercicios 38, 40 y 41 de la página 275.
Cuidaos mucho.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) : Álgebra de matrices III: Multiplicación de matrices. Propiedades.
Hola a tod@s. La entrada de hoy es de especial importancia.
Continuamos hablando de operaciones con matrices. Hoy hablamos del producto de matrices. Vamos a ver que la multiplicación de matrices, a primera vista, parece algo... peculiar. Voy a tratar de explicaros una manera intuitiva de introducirla. Por supuesto, no es la única manera que hay de hacerlo.
Fijaos que la suma y el producto de una matriz por un número tienen definiciones bastantes naturales, con propiedades muy familiares.
El producto de matrices, como vamos a ver, no siempre es posible; y cuando es posible veremos que se obtienen, según el orden en que pongas los factores, matrices de diferentes dimensiones.
Más aún, aunque los resultados fuesen de las mismas dimensiones, no tienen por qué coincidir...
El producto de dos matrices cuadradas del mismo orden no es, en general, conmutativo (!).
Este detalle es, probablemente, lo que más llama la atención a la gente.😉
PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA $1\times n$ POR UNA MATRIZ COLUMNA $n\times 1$
Sean un vector fila (una matriz $1\times n$) $\vec{a}=\left(\begin{matrix}a_1 & a_2 &...& a_n \end{matrix}\right)$ y un vector columna (una matriz $n\times 1$) $\vec{b}=\left(\begin{matrix}b_1\\b_2 \\...\\ b_n \end{matrix}\right)$ (dados por sus componentes), ambos de la misma dimensión $n$.
Se define el producto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ como el número real obtenido multiplicando las componentes término a término y sumando los resultados:
$$\left(\begin{matrix}a_1 & a_2 &...& a_n \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}b_1\\b_2 \\...\\ b_n \end{matrix}\right) =a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...+a_n b_n.$$
(véanse los ejemplos resueltos de la página 57 del libro).
Esta definición permite interpretar una ecuación lineal con $n$ incógnitas como un producto escalar del vector fila formado por los coeficientes de las incógnitas por el vector columna formado por las incógnitas, por ejemplo:
la ecuación lineal $-3x+2y+7z=4$ se puede escribir como producto escalar ($=4$) entre el vector fila $\vec{a}=\left(\begin{matrix}-3 & 2 & 7 \end{matrix}\right)$ y el vector columna de las incógnitas $\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)$:
$$\left(\begin{matrix}-3 & 2 & 7 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}x\\y \\z \end{matrix}\right) =4.$$
Podemos ir un poco más lejos con esta interpretación y pensar que escribir un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como éste:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
{\displaystyle x+2y+3z=2}
\\
{\displaystyle x-y+z=0}
\\
{\displaystyle x+3y-z=-2}
\end{array} \right.$$
es equivalente a escribir:
$$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_2} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_3} \cdot \vec{x} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$$
donde $\vec{a_1}=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)$; $\vec{a_2}=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 1 \end{matrix}\right)$; $\vec{a_3}=\left(\begin{matrix}1 & 3 & -1 \end{matrix}\right)$ y $\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right).$
Observa que la expresión
$$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \\ \vec{a_2} \\ \vec{a_3} \end{matrix}\right)$$ escrita en forma de tabla, no es otra cosa que la matriz $A$ de coeficientes del sistema de ecuaciones:
$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right).$$
Por tanto esto sugiere una definición provisional de producto de matrices, en este caso de una matriz $3 \times 3$ (la $A$) por una matriz $3 \times 1$ (la $\vec{x}$) para dar como resultado una matriz $3 \times 1$ (el vector columna $\vec{b}=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$).
Así, en vez de poner $$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_2} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_3} \cdot \vec{x} \end{matrix}\right)=\vec{b} \rightarrow \left(\begin{matrix} \vec{a_1} \\ \vec{a_2} \\ \vec{a_3} \end{matrix}\right) \vec{x}=\vec{b}$$
podemos poner $$A\vec{x}=\vec{b}.$$
En resumen, la expresión (que se llama "ecuación matricial")
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$$
sugiere que para multiplicar una matriz por otra, el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda.
En efecto, si el sistema propuesto hubiese sido de 2 ecuaciones con 3 incógnitas (tomando como nuevo ejemplo, las dos primeras ecuaciones del ejemplo anterior):
$$\left\{\begin{array}{ccc}
{\displaystyle x+2y+3z=2}
\\
{\displaystyle x-y+z=0}
\end{array} \right.$$
un argumento análogo al anterior conduce al siguiente producto de matrices, una ecuación matricial:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix}\right)$$
Una matriz $2\times3$ multiplicada por una matriz $3\times1$ da como resultado una matriz $2\times1$.
Observa que, según lo dicho, si cambiásemos el orden de los factores, NO sería posible efectuar la multiplicación porque el primer factor tendría $1$ columna y el segundo $2$ filas: no coinciden. Por tanto, el orden de los factores es muy importante.
Vale. De acuerdo pero, si el segundo factor tuviese más de una columna ¿Cómo se multiplicarían una matriz $2\times3$ por otra matriz $3\times4$?
Muy fácil, se aplicaría lo mismo de arriba a cada columna adicional del segundo factor. El resultado sería una matriz $2\times4$.
No debería extrañarte esto, pues como habrás leído en la página 3 del primer resumen, el algoritmo
de Gauss-Jordan es muy conveniente para resolver simultáneamente varios sistemas que comparten la misma matriz $A$ de coeficientes. Para ello simplemente se añaden nuevas columnas correspondientes a los diversos sistemas: por cada columna añadida, una nueva solución.
Espero que, con estos argumentos, no te resulte ya tan extraña la siguiente definición (ya, la definitiva) de multiplicación de matrices:
PRODUCTO DE UNA MATRIZ $A$ POR OTRA MATRIZ $B$
La multiplicación de matrices sólo se define si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. Si $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $ y $B \in \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{R}) $ entonces $AB \in \mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{R}).$
El elemento $(AB)_{ij}$ de la matriz-producto $AB$ se obtiene haciendo el producto escalar habitual de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$, es decir:
$$(AB)_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+...+A_{in}B_{nj}\equiv \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.$$
Si $A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)$; entonces:
una matriz $2\times3$ por otra $3\times2$ dará una matriz $2\times2$, luego
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -8 & 3 \\ -17 & 6 \end{matrix}\right) $$
(compruébalo)
y además, una matriz $3\times2$ por otra $2\times3$ dará una matriz $3\times3$:
$$BA=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$$
(compruébalo)
Como puedes ver, $AB \neq BA$. Ni siquiera tienen las mismas dimensiones.
Si $A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{matrix}\right)$; entonces:
una matriz $1\times2$ por otra $2\times3$ dará una matriz $1\times3$, luego
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -2 & 0 & 5 \end{matrix}\right)$$
(compruébalo)
En cambio, el producto $BA$ no es posible: una matriz $2\times3$ por otra $1\times2$ no da ninguna matriz. Aquí no es cierto que $AB \neq BA$ y tampoco es cierto que $AB = BA$ (de hecho, $BA$ no existe).
Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo orden, las matrices $AB$ y $BA$ existen y son también del mismo orden que los factores, pero en general NO conmutan, es decir: $AB \neq BA$.
Pongamos por caso que $A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)$ y que $B$ dependa de un parámetro real libre $\lambda$: $B=\left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right)$, entonces:
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ -3 & -3\lambda \end{matrix}\right)$$
y
$$BA=\left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2-\lambda & -3\lambda \end{matrix}\right).$$
Por tanto,
$$AB=BA \Longleftrightarrow 2-\lambda=-3 \Longleftrightarrow \lambda=5.$$
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
--El producto de matrices NO es conmutativo. (Ya lo sabemos de sobra)
--El producto de matrices SÍ es asociativo (!). Esta propiedad nos permite prescindir de paréntesis cuando multipliquemos varias matrices (siempre que, por sus dimensiones, cada una sea "multiplicable" por la siguiente): $(AB)C=A(BC)=ABC$.
--Si $A, B, C, D$ son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las siguientes propiedades distributivas:
$$A(B+C)=AB+AC \qquad (B+C)D=BD+CD.$$
--Con respecto a la suma y al producto, la transposición cumple:
$$(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} \qquad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}.$$ (nótese el orden)
--El producto de dos matrices no-nulas puede dar una matriz nula (!).💀 Ésta, más que una propiedad, es una advertencia para aquellos que creen que si el producto de dos cantidades es nulo, entonces alguna de las dos cantidades también debe de ser nula. Con matrices es mentira.
En efecto:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}5\\2 \\ -3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix}\right).$$
(compruébalo)
Estas propiedades son útiles para operar algebraicamente con matrices, por ejemplo:
Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden, es fácil obtener el "producto notable siguiente":
$$(A+B)^2 \equiv (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=A^2+BA+AB+B^2$$
Sería un error escribir $2AB$ en vez de $BA+AB$; como sabemos, $AB$ no tiene por qué dar lo mismo que $BA$.
De manera análoga, se puede ver que $(A-B)^2 =A^2-BA-AB+B^2$ y también que
$(A+B)(A-B) =A^2+BA-AB-B^2$ y por supuesto no es lo mismo hacer $(A+B)(A-B)$ que $(A-B)(A+B).$
Os dejo los siguientes vídeos para que os ayuden a ganar soltura: Vídeo1 , Vídeo2, Vídeo3 y Vídeo4.
Para finalizar la importante entrada de hoy, os recomiendo que leáis atentamente los ejercicios resueltos (y hagáis los propuestos) de las páginas 57, 58, 59, 61, 65, 70 y 71 del libro.
Las soluciones están aquí. No hagas trampa y resuélvelos tú antes de mirar...
Cuidaos mucho.
Continuamos hablando de operaciones con matrices. Hoy hablamos del producto de matrices. Vamos a ver que la multiplicación de matrices, a primera vista, parece algo... peculiar. Voy a tratar de explicaros una manera intuitiva de introducirla. Por supuesto, no es la única manera que hay de hacerlo.
Fijaos que la suma y el producto de una matriz por un número tienen definiciones bastantes naturales, con propiedades muy familiares.
El producto de matrices, como vamos a ver, no siempre es posible; y cuando es posible veremos que se obtienen, según el orden en que pongas los factores, matrices de diferentes dimensiones.
Más aún, aunque los resultados fuesen de las mismas dimensiones, no tienen por qué coincidir...
El producto de dos matrices cuadradas del mismo orden no es, en general, conmutativo (!).
Este detalle es, probablemente, lo que más llama la atención a la gente.😉
PRODUCTO DE UNA MATRIZ FILA $1\times n$ POR UNA MATRIZ COLUMNA $n\times 1$
Sean un vector fila (una matriz $1\times n$) $\vec{a}=\left(\begin{matrix}a_1 & a_2 &...& a_n \end{matrix}\right)$ y un vector columna (una matriz $n\times 1$) $\vec{b}=\left(\begin{matrix}b_1\\b_2 \\...\\ b_n \end{matrix}\right)$ (dados por sus componentes), ambos de la misma dimensión $n$.
Se define el producto escalar $\vec{a} \cdot \vec{b}$ como el número real obtenido multiplicando las componentes término a término y sumando los resultados:
$$\left(\begin{matrix}a_1 & a_2 &...& a_n \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}b_1\\b_2 \\...\\ b_n \end{matrix}\right) =a_1 b_1 + a_2 b_2 + ...+a_n b_n.$$
(véanse los ejemplos resueltos de la página 57 del libro).
Esta definición permite interpretar una ecuación lineal con $n$ incógnitas como un producto escalar del vector fila formado por los coeficientes de las incógnitas por el vector columna formado por las incógnitas, por ejemplo:
la ecuación lineal $-3x+2y+7z=4$ se puede escribir como producto escalar ($=4$) entre el vector fila $\vec{a}=\left(\begin{matrix}-3 & 2 & 7 \end{matrix}\right)$ y el vector columna de las incógnitas $\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)$:
$$\left(\begin{matrix}-3 & 2 & 7 \end{matrix}\right) \cdot \left(\begin{matrix}x\\y \\z \end{matrix}\right) =4.$$
Podemos ir un poco más lejos con esta interpretación y pensar que escribir un sistema de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas como éste:
$$\left\{\begin{array}{ccc}
{\displaystyle x+2y+3z=2}
\\
{\displaystyle x-y+z=0}
\\
{\displaystyle x+3y-z=-2}
\end{array} \right.$$
es equivalente a escribir:
$$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_2} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_3} \cdot \vec{x} \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$$
donde $\vec{a_1}=\left(\begin{matrix}1 & 2 & 3 \end{matrix}\right)$; $\vec{a_2}=\left(\begin{matrix}1 & -1 & 1 \end{matrix}\right)$; $\vec{a_3}=\left(\begin{matrix}1 & 3 & -1 \end{matrix}\right)$ y $\vec{x}=\left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right).$
Observa que la expresión
$$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \\ \vec{a_2} \\ \vec{a_3} \end{matrix}\right)$$ escrita en forma de tabla, no es otra cosa que la matriz $A$ de coeficientes del sistema de ecuaciones:
$$A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right).$$
Por tanto esto sugiere una definición provisional de producto de matrices, en este caso de una matriz $3 \times 3$ (la $A$) por una matriz $3 \times 1$ (la $\vec{x}$) para dar como resultado una matriz $3 \times 1$ (el vector columna $\vec{b}=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$).
Así, en vez de poner $$\left(\begin{matrix} \vec{a_1} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_2} \cdot \vec{x} \\ \vec{a_3} \cdot \vec{x} \end{matrix}\right)=\vec{b} \rightarrow \left(\begin{matrix} \vec{a_1} \\ \vec{a_2} \\ \vec{a_3} \end{matrix}\right) \vec{x}=\vec{b}$$
podemos poner $$A\vec{x}=\vec{b}.$$
En resumen, la expresión (que se llama "ecuación matricial")
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \\ 1 & 3 & -1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \\ -2 \end{matrix}\right)$$
sugiere que para multiplicar una matriz por otra, el número de columnas de la primera tiene que coincidir con el número de filas de la segunda.
En efecto, si el sistema propuesto hubiese sido de 2 ecuaciones con 3 incógnitas (tomando como nuevo ejemplo, las dos primeras ecuaciones del ejemplo anterior):
$$\left\{\begin{array}{ccc}
{\displaystyle x+2y+3z=2}
\\
{\displaystyle x-y+z=0}
\end{array} \right.$$
un argumento análogo al anterior conduce al siguiente producto de matrices, una ecuación matricial:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}x\\y \\ z \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}2 \\ 0 \end{matrix}\right)$$
Una matriz $2\times3$ multiplicada por una matriz $3\times1$ da como resultado una matriz $2\times1$.
Observa que, según lo dicho, si cambiásemos el orden de los factores, NO sería posible efectuar la multiplicación porque el primer factor tendría $1$ columna y el segundo $2$ filas: no coinciden. Por tanto, el orden de los factores es muy importante.
Vale. De acuerdo pero, si el segundo factor tuviese más de una columna ¿Cómo se multiplicarían una matriz $2\times3$ por otra matriz $3\times4$?
Muy fácil, se aplicaría lo mismo de arriba a cada columna adicional del segundo factor. El resultado sería una matriz $2\times4$.
No debería extrañarte esto, pues como habrás leído en la página 3 del primer resumen, el algoritmo
de Gauss-Jordan es muy conveniente para resolver simultáneamente varios sistemas que comparten la misma matriz $A$ de coeficientes. Para ello simplemente se añaden nuevas columnas correspondientes a los diversos sistemas: por cada columna añadida, una nueva solución.
Espero que, con estos argumentos, no te resulte ya tan extraña la siguiente definición (ya, la definitiva) de multiplicación de matrices:
PRODUCTO DE UNA MATRIZ $A$ POR OTRA MATRIZ $B$
La multiplicación de matrices sólo se define si el número de columnas de la primera matriz coincide con el número de filas de la segunda matriz. Si $A \in \mathcal{M}_{m\times n}(\mathbb{R}) $ y $B \in \mathcal{M}_{n\times p}(\mathbb{R}) $ entonces $AB \in \mathcal{M}_{m\times p}(\mathbb{R}).$
El elemento $(AB)_{ij}$ de la matriz-producto $AB$ se obtiene haciendo el producto escalar habitual de la fila $i$ de la matriz $A$ por la columna $j$ de la matriz $B$, es decir:
$$(AB)_{ij}=A_{i1}B_{1j}+A_{i2}B_{2j}+...+A_{in}B_{nj}\equiv \sum_{k=1}^{n}A_{ik}B_{kj}.$$
- Ejemplo:
Si $A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)$; entonces:
una matriz $2\times3$ por otra $3\times2$ dará una matriz $2\times2$, luego
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix} -8 & 3 \\ -17 & 6 \end{matrix}\right) $$
(compruébalo)
y además, una matriz $3\times2$ por otra $2\times3$ dará una matriz $3\times3$:
$$BA=\left(\begin{matrix} 0 & 0 \\ -1 & 0 \\ -2 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \end{matrix}\right)=
\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 0 \\ -1 & -2 & -3 \\ 2 & 1 & 0 \end{matrix}\right)$$
(compruébalo)
Como puedes ver, $AB \neq BA$. Ni siquiera tienen las mismas dimensiones.
- Ejemplo:
Si $A=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\right)$ y $B=\left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{matrix}\right)$; entonces:
una matriz $1\times2$ por otra $2\times3$ dará una matriz $1\times3$, luego
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 2 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 0 & 0 & 1 \\ -1 & 0 & 2 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -2 & 0 & 5 \end{matrix}\right)$$
(compruébalo)
En cambio, el producto $BA$ no es posible: una matriz $2\times3$ por otra $1\times2$ no da ninguna matriz. Aquí no es cierto que $AB \neq BA$ y tampoco es cierto que $AB = BA$ (de hecho, $BA$ no existe).
- Ejemplo:
Si $A$ y $B$ son matrices cuadradas del mismo orden, las matrices $AB$ y $BA$ existen y son también del mismo orden que los factores, pero en general NO conmutan, es decir: $AB \neq BA$.
Pongamos por caso que $A=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)$ y que $B$ dependa de un parámetro real libre $\lambda$: $B=\left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right)$, entonces:
$$AB=\left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ -3 & -3\lambda \end{matrix}\right)$$
y
$$BA=\left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2 & \lambda \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix} 1 & 0 \\ -1 & -3 \end{matrix}\right)= \left(\begin{matrix} -3 & 0 \\ 2-\lambda & -3\lambda \end{matrix}\right).$$
Por tanto,
$$AB=BA \Longleftrightarrow 2-\lambda=-3 \Longleftrightarrow \lambda=5.$$
PROPIEDADES BÁSICAS DE LA MULTIPLICACIÓN DE MATRICES
--El producto de matrices NO es conmutativo. (Ya lo sabemos de sobra)
--El producto de matrices SÍ es asociativo (!). Esta propiedad nos permite prescindir de paréntesis cuando multipliquemos varias matrices (siempre que, por sus dimensiones, cada una sea "multiplicable" por la siguiente): $(AB)C=A(BC)=ABC$.
--Si $A, B, C, D$ son matrices cuyas dimensiones permiten efectuar las operaciones que se indican, se cumplen las siguientes propiedades distributivas:
$$A(B+C)=AB+AC \qquad (B+C)D=BD+CD.$$
--Con respecto a la suma y al producto, la transposición cumple:
$$(A+B)^{t}=A^{t}+B^{t} \qquad (AB)^{t}=B^{t}A^{t}.$$ (nótese el orden)
--El producto de dos matrices no-nulas puede dar una matriz nula (!).💀 Ésta, más que una propiedad, es una advertencia para aquellos que creen que si el producto de dos cantidades es nulo, entonces alguna de las dos cantidades también debe de ser nula. Con matrices es mentira.
En efecto:
$$\left(\begin{matrix} 1 & 2 & 3 \\ 1 & -1 & 1 \end{matrix}\right) \left(\begin{matrix}5\\2 \\ -3 \end{matrix}\right)=\left(\begin{matrix}0 \\ 0 \end{matrix}\right).$$
(compruébalo)
Estas propiedades son útiles para operar algebraicamente con matrices, por ejemplo:
Si $A$ y $B$ son dos matrices cuadradas del mismo orden, es fácil obtener el "producto notable siguiente":
$$(A+B)^2 \equiv (A+B)(A+B)=(A+B)A+(A+B)B=A^2+BA+AB+B^2$$
Sería un error escribir $2AB$ en vez de $BA+AB$; como sabemos, $AB$ no tiene por qué dar lo mismo que $BA$.
De manera análoga, se puede ver que $(A-B)^2 =A^2-BA-AB+B^2$ y también que
$(A+B)(A-B) =A^2+BA-AB-B^2$ y por supuesto no es lo mismo hacer $(A+B)(A-B)$ que $(A-B)(A+B).$
Os dejo los siguientes vídeos para que os ayuden a ganar soltura: Vídeo1 , Vídeo2, Vídeo3 y Vídeo4.
Para finalizar la importante entrada de hoy, os recomiendo que leáis atentamente los ejercicios resueltos (y hagáis los propuestos) de las páginas 57, 58, 59, 61, 65, 70 y 71 del libro.
Las soluciones están aquí. No hagas trampa y resuélvelos tú antes de mirar...
Cuidaos mucho.
Suscribirse a:
Entradas (Atom)
-
Hola a tod@s. Antes de empezar el tema de hoy, os incluyo las soluciones de los ejercicios propuestos de la página 114, para que los corri... -
¡Hola a tod@s! Parece ser que , de momento, la EvaU se celebrará en convocatoria ordinaria entre el 22 de junio y el 10 de julio. Continua...
-
¡Hola a tod@s! Tal como os conté el día 10 de marzo, empezamos el tema de Sistemas de ecuaciones lineales , en el que introducimos el métod...