Hola a tod@s.
Ésta va a ser la última entrada de las tres que he dedicado a repasar algunos contenidos útiles para la EvaU en este periodo del 15 al 22 de junio. En las dos entradas anteriores me he centrado en los contenidos tradicionalmente más complicados y cubren la mayor parte de las dos primeras evaluaciones: para refrescaros la memoria un poco.
La entrada de hoy trata de repasar contenidos más recientes para vosotros, centrándonos más específicamente en la EvaU.
PROGRAMACIÓN LINEAL
Es un caso especial e importante de problemas de optimización, útiles en CCSS.
Recordad que hay dos tipos de problema: con contexto ("programar la producción, en dos variables, de máximo beneficio o mínimo coste, con restricciones de tipo "inecuación lineal") o sin contexto (calcular el máximo y/o mínimo absoluto de una función polinómica de primer grado en dos variables $x$ e $y$ , sujetas a restricciones o ligaduras en forma de inecuaciones lineales ). Dicha función polinómica se llama función objetivo: $$F(x,y)= ax+by+c$$ donde $a,b,c \in \mathbb{R}$ (habitualmente $c=0$).
En el primer caso hay que realizar un planteamiento mediante una tabla (ver ejemplos de clase y/o del libro). En el segundo no hay nada que plantear: simplemente resolver.
En cualquiera de los casos se llega a que hay que encontrar primero el conjunto-solución del sistema de inecuaciones lineales: la región o zona factible.
Dos advertencias:
1) En clase utilizamos el convenio (minoritario) de tachar o sombrear lo que NO es solución y no retachar o sombrear de nuevo lo que ya está tachado. De este modo, la región factible será la zona que no esté sombreada y saldrá un dibujo limpio, claro y sin tachones múltiples. Los trazos de las rectas deben ser líneas discontinuas si la inecuación es estricta ($>, <$) y continuas en caso contrario ($\leq, \geq$).
Obviamente eres libre de seguir este convenio. Sea cual sea debes advertirlo bien claro si decides resolver un problema de Programación Lineal; y remarcar bien cuál es la zona factible.
2) Hay veces que el contexto del problema obliga a usar sólo valores enteros de $x$ e $y$. Esta condición es parte de las restricciones, y no siempre se menciona en el enunciado del problema. Si es el caso, se halla la región factible como si ambas variables fuesen, como siempre, números reales. Habrá que advertir en el ejercicio que la "verdadera" región factible está formada por los puntos de coordenadas enteras contenidos en este polígono.
A partir de aquí suponemos que $x \in \mathbb{R}$ y $y \in \mathbb{R}.$
La abrumadora mayoría de las veces la zona factible será un polígono irregular cerrado y convexo ("sin esquinas o vértices entrantes"). En casos infrecuentes, será un polígono abierto (ver ejercicios resueltos del final del tema 4).
La teoría dice que la solución óptima (máximo o mínimo de la función-objetivo) está siempre en la frontera del polígono, en particular entre los vértices de dicho polígono: por eso es importante identificar los vértices y calcular sus coordenadas resolviendo los correspondientes sistemas de ecuaciones.
Ya sólo quedaría calcular cuánto vale la función-objetivo en cada vértice y ver en cuál de éstos se obtiene el mayor y/o el menor valor.
Advertencia: Puede ocurrir que se alcance el mismo valor óptimo en dos vértices diferentes. Esto ocurre cuando la pendiente de las rectas asociadas a la función-objetivo y la de la recta que contiene a ambos vértices son iguales. Esto sólo quiere decir que ese valor óptimo (máximo o mínimo) de la función-objetivo se alcanza en más de una programación posible: las coordenadas de todos los puntos de la zona factible que estén dentro de ese segmento determinado por ambos vértices.
Éste es el único caso "raro" dentro de los típicos de la EvaU: lo normal es que no haya soluciones óptimas múltiples.
Para practicar: ejercicios de las páginas 117, 118, 119, 120 y 121. Os dejo aquí algunas soluciones.
PROBABILIDAD Y ESTADÍSTICA.
Repasemos el lenguaje básico:
Experimento aleatorio simple: Experimento que, repetido en idénticas condiciones, es imposible predecir con certeza qué resultado se obtendrá entre los posibles resultados. Este conjunto de resultados posibles se llama espacio muestral $\Omega.$
Suceso elemental: Es cualquiera de los elementos de $\Omega.$
Suceso: cualquier subconjunto de $\Omega.$ El suceso imposible $\emptyset$ (conjunto vacío) es aquel que no puede ocurrir nunca. El suceso seguro $\Omega$ es aquel que siempre ocurre.
Decimos que un suceso $A$ se verifica (o se da) cuando el resultado del experimento está dentro de $A$.
Operaciones con sucesos:
Suceso Unión de $A$ y $B$: Se representa por $A\cup B$ y es el que se verifica cuando se da alguno de ellos. Se asocia en el lenguaje ordinario a la disyunción inclusiva "ó".
Suceso Intersección de $A$ y $B$: Se representa por $A\cap B$ y es el que se verifica cuando se dan los dos a la vez. Se asocia en el lenguaje ordinario a la conjunción copulativa "y".
Si $A\cap B=\emptyset$, se dice que $A$ y $B$ son incompatibles: es imposible que se puedan dar a la vez.
Suceso contrario (o complementario) de $A$: se representa por $\overline{A}$ y es aquel que tiene los elementos de $\Omega$ que no son de $A$.
Obviamente, $A$ y $\overline{A}$ son incompatibles, $\overline{\overline{A}}=A$ y además $A \cup \overline{A}=\Omega$, es decir, uno de los dos se realiza siempre.
Suceso diferencia de $A$ "menos" $B$: Se representa habitualmente por $A-B$, es aquel que se verifica cuando se da $A$ pero no $B$. Se define también como: $A-B= A \cap \overline{B}$.
Leyes de De Morgan: relacionan complementos, uniones e intersecciones. Muy útiles.
$$\overline{A \cup B}=\overline{A} \cap \overline{B} \qquad \overline{A \cap B}=\overline{A} \cup \overline{B}$$
Probabilidad de un suceso y propiedades:
A cada suceso $A$ le corresponde una probabilidad $P(A)$, que es un número real que cumple
$0\leq P(A) \leq 1$ de modo que $P(\Omega)=1$ y $P(A \cup B)= P(A)+P(B)$ para cualquier par de sucesos $A$ y $B$ incompatibles.
De esta definición se deducen las siguientes propiedades y teoremas:
1) Si el suceso $A$ está contenido en el suceso $B$, es decir $A \subseteq B$, entonces $P(A)\leq P(B)$; intuitivamente, si un suceso es de menor "tamaño" que otro, su probabilidad será menor o igual que la del otro.
2) $P(A-B)=P(A \cap \overline{B})=P(A)-P(A \cap B)$.
3) $P(\overline{A})=1-P(A)$.
4) $P(\emptyset)=0$.
5) $P(A \cup B)= P(A)+P(B)-P(A \cap B)$.
6) Si realizamos una descomposición del espacio muestral $\Omega$ en un número $n$ de sucesos $\{ A_{1}, A_{2}, \dots , A_{n}\}$ incompatibles dos a dos ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$) (o sea, una partición) y hacemos una selección $\mathcal{A}$ (unión) de estos sucesos, la probabilidad de que se verifique alguno de los sucesos que forman dicha selección es
$$P(\bigcup_{A \in \mathcal{A} } A )=\sum_{A \in \mathcal{A} } P(A)$$
es decir, la suma de las probabilidades de los sucesos que constituyen $\mathcal{A}$.
7) Regla de Laplace: Si la partición anterior es equiprobable, es decir $P(A_{i})=1/n$ para cada $i=1,2, \dots, n$, y $\mathcal{A}$ es una selección (unión) de estos sucesos equiprobables, entonces:
$$P( \mathcal{A} )=\frac{|\mathcal{A}|}{n}=\frac{ \text{número de casos favorables}}{\text{número de casos posibles}}.$$
Probabilidad condicionada.
Un experimento aleatorio compuesto es aquel que resulta de realizar sucesivos experimentos aleatorios simples.
La probabilidad de que se realice un suceso $B$ si antes se ha verificado el suceso $A\neq \emptyset$ se llama probabilidad de $B$ condicionada a $A$, se denota por $P(B|A)$ y es, por definición:
$$P(B|A)=\frac{P(A \cap B)}{P(A)}$$
El hecho de conocer que se ha verificado $A$, cambia la probabilidad de $B$: la información cambia las probabilidades. En nuestro caso se toma como nuevo "espacio muestral" el conjunto $A$.
Si ambos sucesos $A, B$ no son imposibles, es obvio que $P(B|A)\neq P(A|B)$. No hay más que intercambiar $A$ con $B$ en la definición anterior y tener en cuenta que la intersección de sucesos es conmutativa: $B \cap A= A \cap B$.
De esta definición se obtiene una fórmula general para hallar $P(A \cap B)$:
8) $P(A \cap B)= P(A| B) \cdot P(B)= P(B|A) \cdot P(A)$
Los sucesos $A$ y $B$ se dicen independientes si la aparición de uno no influye en la realización del otro. Cuando esto ocurre: $P(A \cap B)= P(A) \cdot P(B)$
(recordad cómo se obtenía la distribución binomial o el caso de experimentos repetidos)
9) Teorema de la probabilidad total (en el contexto habitual de la EvaU, este teorema y el de Bayes van siempre "de la mano")
Si realizamos un experimento compuesto de dos experimentos simples tal que en el primero tenemos una partición de su espacio muestral $\Omega= A_{1} \cup A_{2},\cup \dots \cup A_{n}$ en $n$ sucesos mutuamente excluyentes ($A_{i} \cap A_{j}=\emptyset,\quad i\neq j$); si $B$ es un suceso del segundo experimento aleatorio simple, entonces:
$$P(B)=P(B|A_{1}) \cdot P(A_{1})+P(B|A_{2}) \cdot P(A_{2})+ \dots +P(B|A_{n}) \cdot P(A_{n}).$$
Se llega al suceso $B$ teniendo en cuenta todas las posibles "historias excluyentes" alternativas, pues pueden haberse dado previamente cualesquiera de los sucesos $A_1, A_2, \dots $. Esto se visualiza de forma dinámica con un diagrama de árbol como en la página 258 del libro.
Si se conociese qué alternativas han tenido lugar, la probabilidad de $B$ cambiaría, usándose el mismo teorema pero con el espacio muestral del primer experimento reducido.
10) Teorema de Bayes: En las mismas condiciones del apartado 9), si se pide la probabilidad condicionada $P(A_{i}|B)$ para algún $i$, basta usar la definición de la condicional:
$$P(A_{i}|B)=\frac{P(B|A_{i}) \cdot P(A_{i})}{P(B)}$$
donde $P(B)$ se calcula mediante el apartado 9)
Para practicar: ejercicios de las páginas 262, 263, 264 y 265. Aquí te dejo algunas soluciones.
Siempre hay un ejercicio de probabilidad en ambas opciones: por tabla de contingencias, álgebra de sucesos y Teorema de Bayes (que incluye al teorema de la probabilidad total).
ESTADÍSTICA
Son pocas cosas, pero hay una pregunta fija de estadística en la EvaU, y es muy fácil obtener 2 puntos.
Debéis recordar que para calcular probabilidades con una variable aleatoria $x$ Normal $N(\mu;\sigma)$ hay que tipificar con la fórmula
$$z= \frac{x-\mu}{\sigma}$$
y usar la Tabla de la Normal estándar que os darán.
Recordad que $\mu$ es la media de la distribución y $\sigma$ su desviación típica (no la confundáis con la varianza, que es su cuadrado: $Var(x)=\sigma^{2}$).
Podéis repasar este cálculo de probabilidades con la Normal en las páginas 286 y 287. Ya lo hicimos en clase en los días previos al inicio del confinamiento.
Hasta aquí, ya os remito a la entrada del 16 de marzo de este blog, donde continué hablando de la Estimación de la media poblacional a partir de la media muestral, con un nivel de confianza del $(1-\alpha)\cdot 100$%. Recordad las recomendaciones que os puse entonces y pongo aquí de nuevo.
(Observación: a veces, a $\alpha \cdot 100$% se le llama "nivel de significación". Por si acaso.)
Los ejercicios típicos están señalados en el enlace anterior. Como los ejercicios son siempre del mismo tipo, podéis encontrar numerosos ejemplos resueltos en mi Aula Virtual del IES. Ahí tenéis todos los ejercicios de estadística (resueltos) de la Selectividad de los últimos veinte años.
SISTEMAS DE ECUACIONES, MATRICES Y DETERMINANTES.
Os remito a las entradas que escribí durante el confinamiento. Los ejercicios típicos suelen ser de resolver problemas que se plantean con sistemas de tres ecuaciones lineales con tres incógnitas, operaciones con matrices, cálculo de matrices inversas y discusión de sistemas por cálculo de rangos de matrices. Los determinantes se pueden usar como método alternativo al método de Gauss. Sobre los determinantes, os remito a los apuntes que os envié a cada uno de vosotros en torno al día 1 de mayo pasado.
Ejercicios-modelo de estos temas en mi Aula virtual, como en el apartado anterior. Por supuesto, con sus soluciones.
¡Buena Suerte a tod@s! ... y cumplid las normas de seguridad sanitaria.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) (18/junio/2020) Repaso EvaU MACS2
APLICACIONES DE LAS FUNCIONES DERIVADAS
Esencialmente son:
Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica (no suele ser preciso dibujarla); estudio de la derivabilidad de una función a trozos; crecimiento y decrecimiento ("monotonía"), con máximos y mínimos (llamados también "extremos") locales (también llamados "relativos"); concavidad y convexidad (también llamado "curvatura"), con puntos de inflexión; máximos y mínimos globales (llamados también "extremos absolutos") y optimización de funciones.
Hay que señalar que las preguntas de Análisis suelen venir en apartados heterogéneos: a veces se pide una recta tangente, continuidad o derivabilidad, monotonía y una integral; otras veces piden asíntotas, máximos y mínimos locales y un área; y otras combinaciones.
Tenéis que pensar que, probablemente os sea más fácil obtener una puntuación favorable completa resolviendo los problemas de álgebra, probabilidad y estadística. Estos bloques tienen menos variabilidad de tipos de pregunta que en el de Análisis.
Estadísticamente es menos frecuente tener la puntuación completa en las preguntas de Análisis.
En lo que respecta a la derivación de funciones. Recordad que ésta es "lineal" es decir:
$(u+v)'=u'+v'$ y $(k \cdot u)'=k \cdot u'$, donde $u$, $v$ son funciones cualesquiera (que suponemos derivables) y $k$ es una constante real cualquiera (i.e. un número $k \in \mathbb{R}$).
Debéis tener presentes las reglas básicas de derivación del producto y del cociente:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$
La regla de la cadena, es mejor que la apliquéis ya incorporada en la tabla de funciones derivadas inmediatas.
(Véase columna derecha de la página 161)
RELACIÓN DERIVABILIDAD-CONTINUIDAD
$$f(x) \quad \text{derivable en } x=a \Longrightarrow f(x) \quad \text{continua en } x=a.$$
Así, si una función no es continua en un punto, puedes asegurar que no existe el valor de la derivada en ese punto.
Tened presente también que la recíproca es falsa: si una función es continua en un punto NO puedes asegurar que tenga derivada en ese punto (recordad el ejemplo-modelo de clase: la función valor absoluto de $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ pero NO tiene derivada en $x=0$ (las derivadas laterales en $x=0$ existen, pero no coinciden).
Conclusión: cuando te pidan estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto, debes exigir previamente que la función sea continua en ese punto. Una vez garantizado esto, calcula la función derivada de cada trozo (con las reglas de derivación y sin incluir la frontera) y exige la igualdad de derivadas laterales en el punto fronterizo.
(Este modo de hacerlo explota el hecho de que las funciones que manejáis habitualmente tienen funciones derivadas que, a su vez también son continuas).
Por supuesto, los puntos donde hay que estudiar la derivabilidad suelen ser las fronteras entre los trozos...
Ejercicios para practicar: los de las páginas 164, 165, 166 y 167.
Te dejo aquí algunas soluciones.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Recordad que hay tres tipos de ejercicios. Los modelos están en la página 174. El más común (y más fácil) es el llamado caso "elemental":
Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ (no es preciso dibujarla) en un punto $x=a$.
El punto de tangencia es $(a,f(a))$ y la pendiente de dicha recta viene dada por el valor de la función derivada para $x=a$. La ecuación, en forma punto-pendiente es:
$$y=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$$
Hay que dejar el resultado desarrollado siempre en forma explícita: $y=mx+n.$
En los otros dos casos, los datos son la pendiente o bien un punto de la recta exterior a la gráfica. En ambos casos hay que hallar los puntos de tangencia. La clave está en tener claro que las coordenadas del punto de tangencia tienen que cumplir a la vez las ecuaciones de la función y de la recta.
En efecto, no es difícil reconocer los otros dos tipos:
En el segundo tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que sea paralela a la recta $y=-3x+7$ (p.ej.)..." o simplemente "...cuya pendiente sea $-3$..."
El problema en este caso es cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente (así, si la recta paralela es $y=-3x+7$, la pendiente es $m= -3$).
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación $f'(c)=m$.
Basta resolver la ecuación $f'(c)=m$ en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n$.
En el tercer tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que pasa por el punto $A(a,b)$..."
Si $f(a)=b$, éste es precisamente el punto de tangencia porque cumple la ecuación que define la función $y=f(x)$, es decir, está en la gráfica. Éste sería el primer tipo de problema.
Pero si $f(a) \neq b$, entonces el punto A no es de la gráfica: es externo a ésta.
El problema en este caso es, otra vez, cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que la recta pedida pasa por los puntos $T(c,f(c))$ y $A(a,b)$ cuya pendiente vimos en 3º de ESO que se calculaba así:
$$m=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación:
$$f'(c)=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
Basta resolver esta ecuación en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda hallar la pendiente $m$ con $(f(c)-b)/(c-a)$ ó $f'(c)$ y exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n.$
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES (extremos locales)
Suponemos en lo que sigue que las funciones son derivables.
El resultado básico es que si la derivada de la función es positiva en un punto, entonces la función es creciente en ese punto. Y si es negativa, entonces es decreciente ahí. (Véase página 176 y 177)
$$f'(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es creciente en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es decreciente en } x=a$$
Si $f'(a)=0$, es decir, si $x=a$ es un punto crítico (ojo: el libro los llama "puntos singulares". Es un error) de $f(x)$, sólo podemos asegurar que la recta tangente ahí es paralela al eje horizontal.
La naturaleza del punto crítico suele verse fácilmente estudiando el signo de $f'(x)$ en las "proximidades" de $x=a$. Recordad:
$$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$$
(la recíproca no es cierta, ejemplo: $y=x^{3}$, es creciente en toda la recta real y no tiene extremos locales)
Dos consejos:
1) Para estudiar el signo de $f'(x)$: es conveniente factorizar (simplificar) al máximo la expresión de $f'(x)$ y debes tener en cuenta los puntos singulares (los que no son del Dominio) de la función $f(x)$.
Otra opción es confiar ciegamente en tu calculadora...ya hablamos de esto en clase ¿recordáis?
2) Si tu objetivo es hallar los posibles máximos y mínimos locales, debes poner:
$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$ o simplemente
"condición necesaria de extremo local: $f'(x)=0$, hallemos los puntos críticos".
Ya sólo quedará estudiar su naturaleza mirando el signo de la función derivada en las "proximidades" de cada punto crítico.
Recuerda: puede pasar perfectamente que un punto crítico no sea máximo ni mínimo local.
Como pongáis "$f'(x)=0 \longrightarrow \text{máximos, mínimos relativos}$" os fulminarán aunque lo demás parezca estar bien ...
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN
Aquí voy a ser demasiado esquemático y algo exagerado: la clave está en el signo de la función derivada de la función derivada: la derivada segunda $f''(x)$:
$$f''(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U invertida en } x=a$$
(piensa en una función cuadrática y su gráfica, si eso te ayuda)
La nomenclatura (cóncava, convexa) es diferente en los libros de bachillerato y los universitarios.
En los puntos de inflexión tiene lugar un cambio de curvatura. Para propósitos prácticos, de haber un punto de inflexión, los tienes que buscar entre las soluciones de la ecuación $f''(x)=0$. Se aplican los mismos comentarios y advertencias respecto a los extremos locales. Para decidir si un cierto punto es de inflexión, estudia el signo de la segunda derivada en las "proximidades" de ese punto. Si hay cambio de signo, sí lo será. (Véase página 178 y 179)
No perdáis de vista los ejercicios de determinación de coeficientes de una función que cumple ciertas condiciones dadas. Hicimos alguno en clase y son cada vez más frecuentes en EvaU. Mirad los ejercicios resueltos del final del tema 7.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
En clase argumentamos que una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo global y un mínimo global en ese intervalo. Si además es derivable en dicho intervalo, los máximos y mínimos absolutos se encontrarán entre los puntos críticos que haya dentro del intervalo y los extremos de dicho intervalo.
Éste es el caso más común (y el más sencillo). Ver página 180.
La mayor parte de las veces, la función cuyos máximo o mínimo absolutos se piden calcular viene ya dada o se construye a partir del enunciado del problema. (Ver ejemplos de clase o de los exámenes resueltos)
OPTIMIZACIÓN
Habitualmente se trata de hallar el mayor (o menor ) valor posible de una función que depende de dos variables. Estas dos variables siempre están relacionadas mediante una ecuación ("la ligadura"). Si despejas una variable en función de la otra y la sustituyes en la función que deseas optimizar, el problema se reduce a un problema como los del apartado anterior.
Habitualmente la variable que escoges como independiente suele adoptar valores dentro de un intervalo abierto o cerrado. (Ver los ejemplos y ejercicios de la página 181).
Para practicar ejercicios relacionados con los cinco apartados anteriores, son recomendables los de las páginas 182, 183, 184, 185, 186 y 187.
Aquí te dejo algunas soluciones.
(GRÁFICAS) ASÍNTOTAS DE FUNCIONES
Habitualmente no se pide un estudio detallado de las gráficas de funciones, sino más bien un estudio concreto: crecimiento, concavidad, y más frecuentemente se piden las ecuaciones de las rectas asíntotas.
Es importante no olvidar las familias básicas de funciones (lineal, cuadrática, racionales, exponencial y logarítmica) que estudiásteis en 1º de bachillerato.
Si os piden dibujar una gráfica, habitualmente será la de una función polinómica o la de una función racional. Rara vez piden exponenciales y logarítmicas. Pero no es imposible.
Para dibujar la gráfica de una función a trozos, habitualmente los trozos serán funciones de las básicas.
Para concretar, recordad que la recta horizontal $y=k$ será asíntota horizontal si el límite en infinito vale $k$. No obstante, echad un vistazo al diagrama de flujo de la página 199.
La recta vertical $x=a$ será asíntota vertical si alguno de los límites puntuales laterales cuando $x \rightarrow a$, tiende a infinito.
Los candidatos obvios a ser asíntotas verticales suelen ser los valores de $x$ que anulan algún denominador, en las funciones que manejáis habitualmente. Pero, cuidado, porque los límites hay que calcularlos. Los candidatos, a veces, son fallidos.
Una recta oblicua $y=mx+n$ se dice asíntota oblicua si $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0$ y $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-mx)=n.$
Advertencia: la Comisión coordinadora de Matemáticas nos ha dicho que es obligatorio calcular correcta y detalladamente los límites, aunque haya ciertos "atajos" (como que en funciones racionales tales que el grado del numerador sea uno más que el del denominador, la ecuación de la asíntota oblicua es $y=$ cociente de la división). Y ... no olvidéis escribir la ecuación de la asíntota, muchos calculáis correctamente los límites pero no ponéis la conclusión.
Ejercicios para practicar, (a vuestro criterio: los de las páginas 208, 209, 210, 211, 212 y 213. Aconsejo prestar más atención a las asíntotas y al crecimiento. )Aquí os dejo algunas soluciones. (Dos avisos: en estos ejercicios se aplica todo lo aprendido en los apartados anteriores. Fe de erratas: donde dice "puntos singulares" debe decir "puntos críticos").
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA y algunas aplicaciones.
Dada una función continua $f(x)$, llamamos Primitiva de $f(x)$ a una función $F(x)$ cuya función derivada es $f(x)$, es decir, $F'(x)=f(x)$. Hay infinitas primitivas para la misma función $f(x)$; y se diferencian entre sí por una constante $C$, pues $(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x).$
La integración como "operación" es la operación inversa de la derivación y
la expresión $$\int f(x) \,dx=F(x)+C$$ se llama integral indefinida.
Al igual que la derivación, la integración es una "operación" lineal, es decir:
$$\int (f(x)+g(x)) \,dx=\int f(x) \,dx+\int g(x) \,dx$$
$$\int (k \cdot f(x)) \,dx=k \cdot \int f(x) \,dx$$
($k \in \mathbb{R}$ es una constante)
La tabla de integrales indefinidas inmediatas que más os interesan la tenéis (con la regla de la cadena incorporada) en la columna derecha de la página 222. (Las trigonométricas casi nunca se piden)
Repasad el enunciado del TFC en la página 227 sobre la función área $\int_{a}^{x} f(t) \,dt$ y sobre todo la Regla de Barrow para calcular integrales definidas de funciones continuas:
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx=\Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Muy importante.
(Aviso: no hay ninguna barra de valor absoluto en la parte derecha de la igualdad anterior. Cuidado.)
Aplicaciones (en EvaU)
(En lo que sigue, asumimos que las funciones son continuas.)
1) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de $y=f(x)$, el eje horizontal (eje $X$) y las abscisas $x=a$ y $x=b$ (que son rectas verticales). Pongamos $a<b$. (Véase página 229)
Procedimiento: Resolver la ecuación $f(x)=0$ y seleccionar las soluciones que estén entre $a$ y $b$.
Estas soluciones, ordenadas de menor a mayor, determinan una partición del intervalo $[a,b]$ en intervalos más pequeños de distintos tamaños. Por ejemplo, si son tres soluciones (puntos) entre $x=a$ y $x=b$, habrá cuatro regiones: $[a,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3]$ y $ [x_3,b]$.
Si hay $m$ soluciones, habrá $1+m$ regiones.
Tendríamos que calcular una primitiva $F(x)$ y aplicar la regla de Barrow en cada región.
Así, en el caso de $m=3$ tenemos que el área (geométrica) pedida será la suma de los valores absolutos de las cuatro integrales definidas siguientes:
$$I_{1} = \int_{a}^{x_{1}} f(x) \,dx,\quad
I_{2} =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \,dx,\quad
I_{3} =\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \,dx,\quad
I_{4} =\int_{x_{3}}^{b} f(x) \,dx.$$
Por tanto, el área es $A= |I_{1}|+|I_{2}|+|I_{3}|+|I_{4}|.$ (en unidades cuadradas)
(La mayor parte de las veces, ni hace falta hacer la gráfica)
Observación importante: A veces se pide el área comprendida entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje horizontal (eje $X$) SIN hacer referencia a $x=a$ ni a $x=b$.
Procedimiento: En este caso, al resolver $f(x)=0$ se toman todas las regiones de tamaño finito que haya con sus soluciones.Nunca se tomarán semirrectas como regiones. Por ejemplo, tomando el caso de $3$ soluciones, ordenadas de menor a mayor, tomaríamos los intervalos $[x_1,x_2]$ y $[x_2,x_3]$
2) Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de DOS funciones $y=g(x)$ y $y=h(x)$ (Véase página 231)
Procedimiento: Escribimos una función diferencia $f(x)=g(x)-h(x)$ y resolvemos el problema equivalente de calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función diferencia y el eje horizontal (eje $X$). Se resuelve usando el procedimiento del apartado 1) anterior. (Ver observación)
Para practicar: ejercicios de las páginas 232, 233, 234, 235, 236 y 237.
Os dejo algunas soluciones aquí.
Esencialmente son:
Cálculo de la ecuación de la recta tangente a la gráfica (no suele ser preciso dibujarla); estudio de la derivabilidad de una función a trozos; crecimiento y decrecimiento ("monotonía"), con máximos y mínimos (llamados también "extremos") locales (también llamados "relativos"); concavidad y convexidad (también llamado "curvatura"), con puntos de inflexión; máximos y mínimos globales (llamados también "extremos absolutos") y optimización de funciones.
Hay que señalar que las preguntas de Análisis suelen venir en apartados heterogéneos: a veces se pide una recta tangente, continuidad o derivabilidad, monotonía y una integral; otras veces piden asíntotas, máximos y mínimos locales y un área; y otras combinaciones.
Tenéis que pensar que, probablemente os sea más fácil obtener una puntuación favorable completa resolviendo los problemas de álgebra, probabilidad y estadística. Estos bloques tienen menos variabilidad de tipos de pregunta que en el de Análisis.
Estadísticamente es menos frecuente tener la puntuación completa en las preguntas de Análisis.
En lo que respecta a la derivación de funciones. Recordad que ésta es "lineal" es decir:
$(u+v)'=u'+v'$ y $(k \cdot u)'=k \cdot u'$, donde $u$, $v$ son funciones cualesquiera (que suponemos derivables) y $k$ es una constante real cualquiera (i.e. un número $k \in \mathbb{R}$).
Debéis tener presentes las reglas básicas de derivación del producto y del cociente:
$$(u \cdot v)'=u' \cdot v + u \cdot v'$$
$$(\frac{u}{v})'=\frac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^{2}}$$
La regla de la cadena, es mejor que la apliquéis ya incorporada en la tabla de funciones derivadas inmediatas.
(Véase columna derecha de la página 161)
RELACIÓN DERIVABILIDAD-CONTINUIDAD
$$f(x) \quad \text{derivable en } x=a \Longrightarrow f(x) \quad \text{continua en } x=a.$$
Así, si una función no es continua en un punto, puedes asegurar que no existe el valor de la derivada en ese punto.
Tened presente también que la recíproca es falsa: si una función es continua en un punto NO puedes asegurar que tenga derivada en ese punto (recordad el ejemplo-modelo de clase: la función valor absoluto de $f(x)=|x|$ es continua en $x=0$ pero NO tiene derivada en $x=0$ (las derivadas laterales en $x=0$ existen, pero no coinciden).
Conclusión: cuando te pidan estudiar la derivabilidad de una función definida a trozos en un punto, debes exigir previamente que la función sea continua en ese punto. Una vez garantizado esto, calcula la función derivada de cada trozo (con las reglas de derivación y sin incluir la frontera) y exige la igualdad de derivadas laterales en el punto fronterizo.
(Este modo de hacerlo explota el hecho de que las funciones que manejáis habitualmente tienen funciones derivadas que, a su vez también son continuas).
Por supuesto, los puntos donde hay que estudiar la derivabilidad suelen ser las fronteras entre los trozos...
Ejercicios para practicar: los de las páginas 164, 165, 166 y 167.
Te dejo aquí algunas soluciones.
ECUACIÓN DE LA RECTA TANGENTE
Recordad que hay tres tipos de ejercicios. Los modelos están en la página 174. El más común (y más fácil) es el llamado caso "elemental":
Calcular la ecuación de la recta tangente a la gráfica de una función $y=f(x)$ (no es preciso dibujarla) en un punto $x=a$.
El punto de tangencia es $(a,f(a))$ y la pendiente de dicha recta viene dada por el valor de la función derivada para $x=a$. La ecuación, en forma punto-pendiente es:
$$y=f(a)+f'(a) \cdot (x-a)$$
Hay que dejar el resultado desarrollado siempre en forma explícita: $y=mx+n.$
En los otros dos casos, los datos son la pendiente o bien un punto de la recta exterior a la gráfica. En ambos casos hay que hallar los puntos de tangencia. La clave está en tener claro que las coordenadas del punto de tangencia tienen que cumplir a la vez las ecuaciones de la función y de la recta.
En efecto, no es difícil reconocer los otros dos tipos:
En el segundo tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que sea paralela a la recta $y=-3x+7$ (p.ej.)..." o simplemente "...cuya pendiente sea $-3$..."
El problema en este caso es cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que dos rectas paralelas tienen la misma pendiente (así, si la recta paralela es $y=-3x+7$, la pendiente es $m= -3$).
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación $f'(c)=m$.
Basta resolver la ecuación $f'(c)=m$ en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n$.
En el tercer tipo suelen decirte "... halla la ecuación (explícita $y=mx+n$, por supuesto) de la recta tangente a la gráfica de $y=f(x)$ que pasa por el punto $A(a,b)$..."
Si $f(a)=b$, éste es precisamente el punto de tangencia porque cumple la ecuación que define la función $y=f(x)$, es decir, está en la gráfica. Éste sería el primer tipo de problema.
Pero si $f(a) \neq b$, entonces el punto A no es de la gráfica: es externo a ésta.
El problema en este caso es, otra vez, cómo calcular los puntos $T(c,f(c))$ de tangencia (suele haber más de una solución).
En este tipo, basta con recordar dos cosas: que la pendiente de la recta tangente es siempre el valor de la derivada de $f(x)$ en $x=c$, y que la recta pedida pasa por los puntos $T(c,f(c))$ y $A(a,b)$ cuya pendiente vimos en 3º de ESO que se calculaba así:
$$m=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
La primera coordenada (la "$c$") del punto de tangencia es solución de la ecuación:
$$f'(c)=\frac{f(c)-b}{c-a}.$$
Basta resolver esta ecuación en la incógnita $c$ (puede haber más de una solución).
Para cada solución obtenida para $c$, ya sólo queda hallar la pendiente $m$ con $(f(c)-b)/(c-a)$ ó $f'(c)$ y exigir que sea punto de tangencia de $y=f(x)$, es decir: $mc+n=f(c)$ y así se despeja $n$.
La ecuación pedida será $y=mx+n.$
CRECIMIENTO, DECRECIMIENTO, MÁXIMOS Y MÍNIMOS LOCALES (extremos locales)
Suponemos en lo que sigue que las funciones son derivables.
El resultado básico es que si la derivada de la función es positiva en un punto, entonces la función es creciente en ese punto. Y si es negativa, entonces es decreciente ahí. (Véase página 176 y 177)
$$f'(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es creciente en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{es decreciente en } x=a$$
Si $f'(a)=0$, es decir, si $x=a$ es un punto crítico (ojo: el libro los llama "puntos singulares". Es un error) de $f(x)$, sólo podemos asegurar que la recta tangente ahí es paralela al eje horizontal.
La naturaleza del punto crítico suele verse fácilmente estudiando el signo de $f'(x)$ en las "proximidades" de $x=a$. Recordad:
$$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$$
(la recíproca no es cierta, ejemplo: $y=x^{3}$, es creciente en toda la recta real y no tiene extremos locales)
Dos consejos:
1) Para estudiar el signo de $f'(x)$: es conveniente factorizar (simplificar) al máximo la expresión de $f'(x)$ y debes tener en cuenta los puntos singulares (los que no son del Dominio) de la función $f(x)$.
Otra opción es confiar ciegamente en tu calculadora...ya hablamos de esto en clase ¿recordáis?
2) Si tu objetivo es hallar los posibles máximos y mínimos locales, debes poner:
$x=a \text{ es extremo local}\Longrightarrow f'(a)=0$ o simplemente
"condición necesaria de extremo local: $f'(x)=0$, hallemos los puntos críticos".
Ya sólo quedará estudiar su naturaleza mirando el signo de la función derivada en las "proximidades" de cada punto crítico.
Recuerda: puede pasar perfectamente que un punto crítico no sea máximo ni mínimo local.
Como pongáis "$f'(x)=0 \longrightarrow \text{máximos, mínimos relativos}$" os fulminarán aunque lo demás parezca estar bien ...
CONCAVIDAD Y CONVEXIDAD. PUNTOS DE INFLEXIÓN
Aquí voy a ser demasiado esquemático y algo exagerado: la clave está en el signo de la función derivada de la función derivada: la derivada segunda $f''(x)$:
$$f''(a)>0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U en } x=a$$
$$f'(a)<0 \Longrightarrow f(x) \quad \text{hay forma de U invertida en } x=a$$
(piensa en una función cuadrática y su gráfica, si eso te ayuda)
La nomenclatura (cóncava, convexa) es diferente en los libros de bachillerato y los universitarios.
En los puntos de inflexión tiene lugar un cambio de curvatura. Para propósitos prácticos, de haber un punto de inflexión, los tienes que buscar entre las soluciones de la ecuación $f''(x)=0$. Se aplican los mismos comentarios y advertencias respecto a los extremos locales. Para decidir si un cierto punto es de inflexión, estudia el signo de la segunda derivada en las "proximidades" de ese punto. Si hay cambio de signo, sí lo será. (Véase página 178 y 179)
No perdáis de vista los ejercicios de determinación de coeficientes de una función que cumple ciertas condiciones dadas. Hicimos alguno en clase y son cada vez más frecuentes en EvaU. Mirad los ejercicios resueltos del final del tema 7.
MÁXIMOS Y MÍNIMOS GLOBALES
En clase argumentamos que una función continua en un intervalo cerrado siempre tiene un máximo global y un mínimo global en ese intervalo. Si además es derivable en dicho intervalo, los máximos y mínimos absolutos se encontrarán entre los puntos críticos que haya dentro del intervalo y los extremos de dicho intervalo.
Éste es el caso más común (y el más sencillo). Ver página 180.
La mayor parte de las veces, la función cuyos máximo o mínimo absolutos se piden calcular viene ya dada o se construye a partir del enunciado del problema. (Ver ejemplos de clase o de los exámenes resueltos)
OPTIMIZACIÓN
Habitualmente se trata de hallar el mayor (o menor ) valor posible de una función que depende de dos variables. Estas dos variables siempre están relacionadas mediante una ecuación ("la ligadura"). Si despejas una variable en función de la otra y la sustituyes en la función que deseas optimizar, el problema se reduce a un problema como los del apartado anterior.
Habitualmente la variable que escoges como independiente suele adoptar valores dentro de un intervalo abierto o cerrado. (Ver los ejemplos y ejercicios de la página 181).
Para practicar ejercicios relacionados con los cinco apartados anteriores, son recomendables los de las páginas 182, 183, 184, 185, 186 y 187.
Aquí te dejo algunas soluciones.
(GRÁFICAS) ASÍNTOTAS DE FUNCIONES
Habitualmente no se pide un estudio detallado de las gráficas de funciones, sino más bien un estudio concreto: crecimiento, concavidad, y más frecuentemente se piden las ecuaciones de las rectas asíntotas.
Es importante no olvidar las familias básicas de funciones (lineal, cuadrática, racionales, exponencial y logarítmica) que estudiásteis en 1º de bachillerato.
Si os piden dibujar una gráfica, habitualmente será la de una función polinómica o la de una función racional. Rara vez piden exponenciales y logarítmicas. Pero no es imposible.
Para dibujar la gráfica de una función a trozos, habitualmente los trozos serán funciones de las básicas.
Para concretar, recordad que la recta horizontal $y=k$ será asíntota horizontal si el límite en infinito vale $k$. No obstante, echad un vistazo al diagrama de flujo de la página 199.
La recta vertical $x=a$ será asíntota vertical si alguno de los límites puntuales laterales cuando $x \rightarrow a$, tiende a infinito.
Los candidatos obvios a ser asíntotas verticales suelen ser los valores de $x$ que anulan algún denominador, en las funciones que manejáis habitualmente. Pero, cuidado, porque los límites hay que calcularlos. Los candidatos, a veces, son fallidos.
Una recta oblicua $y=mx+n$ se dice asíntota oblicua si $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}\frac{f(x)}{x}=m\neq 0$ y $\lim_{x \rightarrow \pm \infty}(f(x)-mx)=n.$
Advertencia: la Comisión coordinadora de Matemáticas nos ha dicho que es obligatorio calcular correcta y detalladamente los límites, aunque haya ciertos "atajos" (como que en funciones racionales tales que el grado del numerador sea uno más que el del denominador, la ecuación de la asíntota oblicua es $y=$ cociente de la división). Y ... no olvidéis escribir la ecuación de la asíntota, muchos calculáis correctamente los límites pero no ponéis la conclusión.
Ejercicios para practicar, (a vuestro criterio: los de las páginas 208, 209, 210, 211, 212 y 213. Aconsejo prestar más atención a las asíntotas y al crecimiento. )Aquí os dejo algunas soluciones. (Dos avisos: en estos ejercicios se aplica todo lo aprendido en los apartados anteriores. Fe de erratas: donde dice "puntos singulares" debe decir "puntos críticos").
INTEGRAL INDEFINIDA. INTEGRAL DEFINIDA y algunas aplicaciones.
Dada una función continua $f(x)$, llamamos Primitiva de $f(x)$ a una función $F(x)$ cuya función derivada es $f(x)$, es decir, $F'(x)=f(x)$. Hay infinitas primitivas para la misma función $f(x)$; y se diferencian entre sí por una constante $C$, pues $(F(x)+C)'=F'(x)+C'=f(x)+0=f(x).$
La integración como "operación" es la operación inversa de la derivación y
la expresión $$\int f(x) \,dx=F(x)+C$$ se llama integral indefinida.
Al igual que la derivación, la integración es una "operación" lineal, es decir:
$$\int (f(x)+g(x)) \,dx=\int f(x) \,dx+\int g(x) \,dx$$
$$\int (k \cdot f(x)) \,dx=k \cdot \int f(x) \,dx$$
($k \in \mathbb{R}$ es una constante)
La tabla de integrales indefinidas inmediatas que más os interesan la tenéis (con la regla de la cadena incorporada) en la columna derecha de la página 222. (Las trigonométricas casi nunca se piden)
Repasad el enunciado del TFC en la página 227 sobre la función área $\int_{a}^{x} f(t) \,dt$ y sobre todo la Regla de Barrow para calcular integrales definidas de funciones continuas:
$$\int_{a}^{b} f(x) \,dx=\Big[ F(x) \Big]_{a}^{b}=F(b)-F(a).$$
Muy importante.
(Aviso: no hay ninguna barra de valor absoluto en la parte derecha de la igualdad anterior. Cuidado.)
Aplicaciones (en EvaU)
(En lo que sigue, asumimos que las funciones son continuas.)
1) Hallar el área del recinto plano limitado por la gráfica de $y=f(x)$, el eje horizontal (eje $X$) y las abscisas $x=a$ y $x=b$ (que son rectas verticales). Pongamos $a<b$. (Véase página 229)
Procedimiento: Resolver la ecuación $f(x)=0$ y seleccionar las soluciones que estén entre $a$ y $b$.
Estas soluciones, ordenadas de menor a mayor, determinan una partición del intervalo $[a,b]$ en intervalos más pequeños de distintos tamaños. Por ejemplo, si son tres soluciones (puntos) entre $x=a$ y $x=b$, habrá cuatro regiones: $[a,x_1], [x_1,x_2], [x_2,x_3]$ y $ [x_3,b]$.
Si hay $m$ soluciones, habrá $1+m$ regiones.
Tendríamos que calcular una primitiva $F(x)$ y aplicar la regla de Barrow en cada región.
Así, en el caso de $m=3$ tenemos que el área (geométrica) pedida será la suma de los valores absolutos de las cuatro integrales definidas siguientes:
$$I_{1} = \int_{a}^{x_{1}} f(x) \,dx,\quad
I_{2} =\int_{x_{1}}^{x_{2}} f(x) \,dx,\quad
I_{3} =\int_{x_{2}}^{x_{3}} f(x) \,dx,\quad
I_{4} =\int_{x_{3}}^{b} f(x) \,dx.$$
Por tanto, el área es $A= |I_{1}|+|I_{2}|+|I_{3}|+|I_{4}|.$ (en unidades cuadradas)
(La mayor parte de las veces, ni hace falta hacer la gráfica)
Observación importante: A veces se pide el área comprendida entre la gráfica de $y=f(x)$ y el eje horizontal (eje $X$) SIN hacer referencia a $x=a$ ni a $x=b$.
Procedimiento: En este caso, al resolver $f(x)=0$ se toman todas las regiones de tamaño finito que haya con sus soluciones.Nunca se tomarán semirrectas como regiones. Por ejemplo, tomando el caso de $3$ soluciones, ordenadas de menor a mayor, tomaríamos los intervalos $[x_1,x_2]$ y $[x_2,x_3]$
2) Hallar el área del recinto plano limitado por las gráficas de DOS funciones $y=g(x)$ y $y=h(x)$ (Véase página 231)
Procedimiento: Escribimos una función diferencia $f(x)=g(x)-h(x)$ y resolvemos el problema equivalente de calcular el área del recinto plano limitado por la gráfica de la función diferencia y el eje horizontal (eje $X$). Se resuelve usando el procedimiento del apartado 1) anterior. (Ver observación)
Para practicar: ejercicios de las páginas 232, 233, 234, 235, 236 y 237.
Os dejo algunas soluciones aquí.
2º Bachillerato CCSS (2ºC) (16/junio/2020) Repaso EvaU MACS2
Hola a tod@s.
Os presento aquí unos comentarios e indicaciones para ayudaros a repasar para la prueba de EvaU de Matemáticas aplicadas a las CCSS II. Sólo es una guía, como os la contaría en una clase de repaso presencial. No puede obviamente sustituir al curso completo. Se darán algunas indicaciones sobre algunos temas y no se pretende ser exhaustivo.
La mayoría de los comentarios ya los hice a lo largo del curso, pero creo que no está de más recordároslos.
Por supuesto, sois libres para seguirlos o no.
Tradicionalmente había que escoger una y sólo una de las dos opciones A o B y resolver los problemas de la opción elegida. Una de las dos opciones (la A o la B) suele ser más "calculística" y la otra más conceptual, con menos cálculos. En cualquier caso, no son en absoluto difíciles.
Excepcionalmente, según las indicaciones de la Comisión organizadora, este año se permitirá combinar ejercicios de ambas opciones: seguid atentamente las indicaciones del tribunal.
La buena presentación y organización de las respuestas es muy importante. El factor psicológico tiene más influencia de la que parece (como tantas veces he dicho en clase). Tened presente que un corrector, quien deberá corregir unos escasos 200 exámenes de desconocidos, estará predispuesto a valorar bien un examen bien organizado y claro, aunque contenga errores de cálculo menores. Si encuentra un examen desorganizado y lioso que tenga que descifrar, lo valorará lo mejor que pueda porque es su obligación; pero es más probable que te otorgue una puntuación menor, y con razón.
En clase os dije que nunca debéis dejar espacio para la duda. No hay que dejar que el corrector interprete: hay que fijar bien la notación y las ideas teóricas básicas que hay que aplicar en cada problema.
CÁLCULO DE LÍMITES
Típicamente el cálculo de límites aparece al estudiar las asíntotas de una función, o al estudiar la derivabilidad o continuidad de funciones definidas a trozos (con o sin parámetro).
Rara vez se pide un límite aislado.
Lo bueno es que las funciones que manejáis son habitualmente combinaciones de polinómicas, racionales (=cocientes de polinomios), exponenciales y (algunas veces) logarítmicas. Las más simples que existen.
En todo caso, recordad que hay dos tipos de límites: los límites puntuales $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ y los límites en infinito $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$.
Para el cálculo de límites en infinito debéis usar el cálculo simbólico que aparece en la página 135 del libro. Os recuerdo que son importantes los criterios de comparación de infinitos de los apartados 4, 5 y 6 del tema 5 del libro. Serán útiles para el cálculo de asíntotas.
Para el cálculo de límites puntuales, se usa el hecho de que la mayoría de las funciones que manejáis son continuas en $\mathbb{R}$ salvo quizá en puntos aislados o intervalos.
En todo caso, los apartados 7 y 8 del tema 5 son útiles para éstos.
Advertencias importantes sobre cálculo de límites:
1) Las indeterminaciones (clasificadas en la página 136) son "señales de alarma", que indican que no puede usarse el cálculo simbólico mencionado antes. Se resuelven dependiendo del tipo de límite y de la función. No mezcléis métodos de límites en infinito con los de límites en un punto.
Practicad especialmente el caso de límites puntuales de funciones racionales (ind 0/0).
Jamás escribáis "indeterminación"$=$número ó "indeterminación"$=\infty$, porque os tacharán el ejercicio entero...
2) Nunca, nunca hagáis una "tabla de valores" para calcular límites con la calculadora. También os fulminarán por ello. Sabéis cómo debe hacerse ¿ok?
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS.
Recordad que el problema suele estar en la frontera entre los trozos.
Para ver si una función $f(x)$ es continua en un punto $x=a$, el esquema es siempre el mismo:
1º) Calcular $f(a)$. Si $a$ no está en el Dominio de $f(x)$ entonces ya es discontinua en $x=a$.
Si $f(a) \in \mathbb{R}$ entonces calculamos sus límites laterales.
2º) $$L_1=\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x > a}f(x)$$
$$L_2=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x < a}f(x)$$
Si alguno (o ambos) de estos límites tiende a infinito o no existe, o bien
$L_1 \in \mathbb{R}$ y $L_2 \in \mathbb{R}$ pero $L_1\neq L_2$, entonces NO existe el límite puntual
$$L=\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ y la función NO es continua en $x=a$.
(La discontinuidad sería de salto infinito en el primer caso y de salto finito en el segundo).
Si $L_1=L_2=L$, entonces dicho límite puntual SÍ existe y vale $L$. En este caso pasaríamos al siguiente apartado:
3º) ¿$L=f(a)$? Si es que SÍ, entonces $f(x)$ es continua en el punto $(a, f(a))$.
Si es que NO, sería una discontinuidad llamada "evitable".
OJO: No perdáis de vista la función "valor absoluto" $|g(x)|$ que es igual a $g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x)\geq 0$; y es $-g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x) < 0$.
Podéis practicar con los ejercicios de las páginas 144,145, 146, 147, 148 y 149.
Aquí os dejo algunas soluciones.
Os presento aquí unos comentarios e indicaciones para ayudaros a repasar para la prueba de EvaU de Matemáticas aplicadas a las CCSS II. Sólo es una guía, como os la contaría en una clase de repaso presencial. No puede obviamente sustituir al curso completo. Se darán algunas indicaciones sobre algunos temas y no se pretende ser exhaustivo.
La mayoría de los comentarios ya los hice a lo largo del curso, pero creo que no está de más recordároslos.
Por supuesto, sois libres para seguirlos o no.
Tradicionalmente había que escoger una y sólo una de las dos opciones A o B y resolver los problemas de la opción elegida. Una de las dos opciones (la A o la B) suele ser más "calculística" y la otra más conceptual, con menos cálculos. En cualquier caso, no son en absoluto difíciles.
Excepcionalmente, según las indicaciones de la Comisión organizadora, este año se permitirá combinar ejercicios de ambas opciones: seguid atentamente las indicaciones del tribunal.
La buena presentación y organización de las respuestas es muy importante. El factor psicológico tiene más influencia de la que parece (como tantas veces he dicho en clase). Tened presente que un corrector, quien deberá corregir unos escasos 200 exámenes de desconocidos, estará predispuesto a valorar bien un examen bien organizado y claro, aunque contenga errores de cálculo menores. Si encuentra un examen desorganizado y lioso que tenga que descifrar, lo valorará lo mejor que pueda porque es su obligación; pero es más probable que te otorgue una puntuación menor, y con razón.
En clase os dije que nunca debéis dejar espacio para la duda. No hay que dejar que el corrector interprete: hay que fijar bien la notación y las ideas teóricas básicas que hay que aplicar en cada problema.
CÁLCULO DE LÍMITES
Típicamente el cálculo de límites aparece al estudiar las asíntotas de una función, o al estudiar la derivabilidad o continuidad de funciones definidas a trozos (con o sin parámetro).
Rara vez se pide un límite aislado.
Lo bueno es que las funciones que manejáis son habitualmente combinaciones de polinómicas, racionales (=cocientes de polinomios), exponenciales y (algunas veces) logarítmicas. Las más simples que existen.
En todo caso, recordad que hay dos tipos de límites: los límites puntuales $\lim_{x \rightarrow a} f(x)$ y los límites en infinito $\lim_{x \rightarrow +\infty}f(x)$, $\lim_{x \rightarrow -\infty}f(x)$.
Para el cálculo de límites en infinito debéis usar el cálculo simbólico que aparece en la página 135 del libro. Os recuerdo que son importantes los criterios de comparación de infinitos de los apartados 4, 5 y 6 del tema 5 del libro. Serán útiles para el cálculo de asíntotas.
Para el cálculo de límites puntuales, se usa el hecho de que la mayoría de las funciones que manejáis son continuas en $\mathbb{R}$ salvo quizá en puntos aislados o intervalos.
En todo caso, los apartados 7 y 8 del tema 5 son útiles para éstos.
Advertencias importantes sobre cálculo de límites:
1) Las indeterminaciones (clasificadas en la página 136) son "señales de alarma", que indican que no puede usarse el cálculo simbólico mencionado antes. Se resuelven dependiendo del tipo de límite y de la función. No mezcléis métodos de límites en infinito con los de límites en un punto.
Practicad especialmente el caso de límites puntuales de funciones racionales (ind 0/0).
Jamás escribáis "indeterminación"$=$número ó "indeterminación"$=\infty$, porque os tacharán el ejercicio entero...
2) Nunca, nunca hagáis una "tabla de valores" para calcular límites con la calculadora. También os fulminarán por ello. Sabéis cómo debe hacerse ¿ok?
CONTINUIDAD DE UNA FUNCIÓN DEFINIDA A TROZOS.
Recordad que el problema suele estar en la frontera entre los trozos.
Para ver si una función $f(x)$ es continua en un punto $x=a$, el esquema es siempre el mismo:
1º) Calcular $f(a)$. Si $a$ no está en el Dominio de $f(x)$ entonces ya es discontinua en $x=a$.
Si $f(a) \in \mathbb{R}$ entonces calculamos sus límites laterales.
2º) $$L_1=\lim_{x \rightarrow a^{+}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x > a}f(x)$$
$$L_2=\lim_{x \rightarrow a^{-}}f(x)=\lim_{x \rightarrow a; x < a}f(x)$$
Si alguno (o ambos) de estos límites tiende a infinito o no existe, o bien
$L_1 \in \mathbb{R}$ y $L_2 \in \mathbb{R}$ pero $L_1\neq L_2$, entonces NO existe el límite puntual
$$L=\lim_{x \rightarrow a}f(x)$$ y la función NO es continua en $x=a$.
(La discontinuidad sería de salto infinito en el primer caso y de salto finito en el segundo).
Si $L_1=L_2=L$, entonces dicho límite puntual SÍ existe y vale $L$. En este caso pasaríamos al siguiente apartado:
3º) ¿$L=f(a)$? Si es que SÍ, entonces $f(x)$ es continua en el punto $(a, f(a))$.
Si es que NO, sería una discontinuidad llamada "evitable".
OJO: No perdáis de vista la función "valor absoluto" $|g(x)|$ que es igual a $g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x)\geq 0$; y es $-g(x)$ para los valores de $x$ tales que $g(x) < 0$.
Podéis practicar con los ejercicios de las páginas 144,145, 146, 147, 148 y 149.
Aquí os dejo algunas soluciones.
Información de Tutoría de B2C: Instrucciones de desarrollo de la EvaU 2020 (02/junio//2020)
Por indicación de la Vicerrectora de Estudiantes de la Universidad
Complutense y Presidenta de la Comisión Organizadora de la Comunidad de
Madrid, se anuncian instrucciones de interés sobre el desarrollo de la
EvAU para conocimiento de los estudiantes de 2º de bachillerato. Estas instrucciones están publicadas en la página
web de la universidad
2º de BACHILLERATO Información de Tutoría B2C.--1 de junio--
Hola a tod@s,
Os adjunto información elaborada por el departamento de Orientación para la Universidad y aquí otra información de Orientación para Ciclos Formativos de grado superior, por si fuese de vuestro interés.
También os informo:
1) La fecha prevista de comunicación de vuestras notas de Evaluación final ordinaria es el 11 de junio próximo.
2) Aquellos de vosotros interesados en realizar las pruebas de acceso a Ciclos Formativos de grado superior: está prevista su celebración, en principio, desde la segunda semana del mes de junio...
ACTUALIZACIÓN (02-junio-2020): Serán los días 24 y 25 de junio. Consultad urgentemente la página web del IES. Instrucciones.
Por tanto:
Estad pendientes de las páginas web del IES y de sus departamentos. Para cuestiones informativas de todo tipo. (Anuncios, convocatorias, criterios de evaluación, matriculación presencial en la EvaU, procesos de evaluación para la convocatoria extraordinaria, etc)
Un saludo para tod@s.
Os adjunto información elaborada por el departamento de Orientación para la Universidad y aquí otra información de Orientación para Ciclos Formativos de grado superior, por si fuese de vuestro interés.
También os informo:
1) La fecha prevista de comunicación de vuestras notas de Evaluación final ordinaria es el 11 de junio próximo.
2) Aquellos de vosotros interesados en realizar las pruebas de acceso a Ciclos Formativos de grado superior: está prevista su celebración, en principio, desde la segunda semana del mes de junio...
ACTUALIZACIÓN (02-junio-2020): Serán los días 24 y 25 de junio. Consultad urgentemente la página web del IES. Instrucciones.
Por tanto:
Estad pendientes de las páginas web del IES y de sus departamentos. Para cuestiones informativas de todo tipo. (Anuncios, convocatorias, criterios de evaluación, matriculación presencial en la EvaU, procesos de evaluación para la convocatoria extraordinaria, etc)
Un saludo para tod@s.
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